gt高二数学(人教A版)选修2-1综合素质检测第二章圆锥曲线与方程

第二章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2013·四川文，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－3y＝0的距离是()A．23B．2C.3D．12．已知椭圆x2a2＋y225＝1(a5)的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|＝8，弦AB经过焦点F1，则△ABF2的周长为()A．10B．20C．241D．4413．椭圆x2m2＋y23－m＝1的一个焦点为(0,1)，则m＝()A．1B.－1±172C．－2或1D．－2或1或－1±1724．设双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±2xC．y＝±22xD．y＝±12x5．(2013·天津理，5)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p＝()A．1B.32C．2D．36．已知ab0，e1，e2分别为圆锥曲线x2a2＋y2b2＝1和x2a2－y2b2＝1的离心率，则lge1＋lge2()A．大于0且小于1B．大于1C．小于0D．等于17．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为()A.x24－y24＝1B.y24－x24＝1C.y24－x28＝1D.x28－y24＝18．已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线9．(2013·新课标Ⅱ理，11)设抛物线C：y2＝3px(p0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为()A．y2＝4x或y2＝8xB．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16xD．y2＝2x或y2＝16x10．已知θ∈R，则方程x2＋y2cosθ＝4表示的曲线不可能是()A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是()A．y2＝254xB．y2＝454xC．x2＝－452yD．x2＝－454y12．(2013·新课标Ⅰ理，10)已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为()A.x245＋y236＝1B.x236＋y227＝1C.x227＋y218＝1D.x218＋y29＝1二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．椭圆x24＋y23＝1的两焦点为F1、F2点P在椭圆上，使∠F1PF2＝90°的点P有________个．[答案]0[解析]设ab0，c＝a2－b2，以O为圆心，以c为半径画圆；当cb时，圆与椭圆无公共点，此时椭圆上无满足要求的点；当c＝b时，圆与椭圆切于短轴的两个端点，此时满足要求的点有两个，即椭圆短轴两个端点；当cb时，椭圆与圆有四个交点，此时满足条件的点有这四个点，这里a2＝4，b2＝3，∴c＝1，b＝3，因此这样的点P不存在．14．已知双曲线x2－y2b2＝1(b0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________.[答案]2[解析]∵双曲线的焦点在x轴上，∴ba＝2，∴b2a2＝4，∴b2＝4，又∵b0，∴b＝2.15．(2013·辽宁理，15)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|AF|＝6，cos∠ABF＝45，则C的离心率e＝________.[答案]57[解析]本题考查椭圆的几何性质，解三角形问题．在△ABF中，由余弦定理得，cos∠ABF＝|AB|2＋|BF|2－|AF|22|AB|·|BF|，∴|BF|2－16|BF|＋64＝0，∴|BF|＝8，设右焦点为F1，因为直线过原点，∴|BF1|＝|AF|＝6，∴2a＝|BF|＋|BF1|＝14，∴a＝7，∵O为Rt△ABF斜边AB的中点，∴|OF|＝12|AB|＝5，∴c＝5，∴e＝57.16．方程x24－t＋y2t－1＝1表示曲线C，给出以下命题：①曲线C不可能为圆；②若1t4，则曲线C为椭圆；③若曲线C为双曲线，则t1或t4；④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1t52.其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．[答案]③④[解析]显然当t＝52时，曲线为x2＋y2＝32，方程表示一个圆；而当1t4，且t≠52时，方程表示椭圆；当t1或t4时，方程表示双曲线；而当1t52时，4－tt－10，方程表示焦点在x轴上的椭圆，故③④为真命题．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若已知椭圆x210＋y2m＝1与双曲线x2－y2b＝1有相同的焦点，又椭圆与双曲线交于点P(103，y)，求椭圆及双曲线的方程．[解析]由椭圆与双曲线有相同的焦点得10－m＝1＋b，即m＝9－b①又点P(103，y)在椭圆、双曲线上，得y2＝89m，②y2＝b9.③解由①、②、③组成的方程组得m＝1，b＝8，∴椭圆方程为x210＋y2＝1，双曲线方程为x2－y28＝1.18．(本小题满分12分)求以直线x＋2y＝0为渐近线，且截直线x－y－3＝0所得弦长为833的双曲线的标准方程．[解析]由于双曲线渐近线方程为x＋2y＝0，故可设双曲线方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．设直线x－y－3＝0与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程组x－y－3＝0，x2－4y2＝λ.消去y，整理得3x2－24x＋36＋λ＝0.由Δ＝242－12(36＋λ)0，解得λ12.由根与系数关系可得x1＋x2＝8，x1·x2＝36＋λ3.代入弦长公式中，|AB|＝2|x1－x2|＝2·x1＋x22－4x1x2＝2·82－4×36＋λ3＝812－λ3，于是812－λ3＝833，解得λ＝4(与λ12符合)．故所求的双曲线方程为x24－y2＝1.19．(本小题满分12分)已知过抛物线y2＝2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．[解析](1)直线AB的方程是y＝22(x－p2)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4，由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设OC→＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y23＝8x3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本小题满分12分)(2013·新课标Ⅰ文，21)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.[解析](1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程式为x24＋y23＝1(x≠－2)．(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则|QP||QM|＝Rr1，可求出Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)，由l与圆M相切得|3k|1＋k2＝1，解得k＝±24.当k＝24时，将y＝24x＋2代入x24＋y23＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝－4±627.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝187.当k＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187.综上，|AB|＝23或|AB|＝187.21．(本小题满分12分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，一条渐近线方程为y＝x，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在此双曲线上，求MF1→·MF2→.[解析](1)由题意知双曲线的方程是标准方程．∵双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.把点(4，－10)代入双曲线方程得，λ＝6.∴所求双曲线方程为x2－y2＝6.(2)双曲线的焦点为F1(－23，0)、F2(23，0)．∵M点在双曲线上，∴32－m2＝6，m2＝3.∴MF1→·MF2→＝(－23－3，－m)·(23－3，－m)＝(－3)2－(23)2＋m2＝0.22．(本小题满分14分)已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3)，且点F(2,0)为其右焦点．(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．[解析](1)设椭圆的方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵F(2,0)是椭圆的右焦点，且椭圆过点A(2,3)，∴c＝2，2a＝3＋5＝8，∴c＝2，a＝4.∵a2＝b2＋c2，∴b2＝12，故椭圆方程为x216＋y212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程y＝32x＋t.由y＝32x＋t，x216＋y212＝1.消去y，得3x2＋3tx＋t2－12＝0.∵直线l与椭圆有公共点，∴Δ＝(3t)2－12(t2－12)≥0，解得－43≤t≤43.另一方面，由直线OA与l的距离等于4，可得，|t|94＋1＝4，∴t＝±213.由于±213∉[－43，43]，故符合题意的直线l不存在．