k5第九章质点运动型问题

知识就是力量1ACQP图9—1B图9—2ABCQP本文为自本人珍藏版权所有仅供参考第九章质点运动型问题【考点透视】质点运动型问题就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中相伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究考察．质点运动型问题常常集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性．解决质点运动型问题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系．尽管一些试题大多属于静态的知识和方法，然而，这些试题中常常渗透着运动与变化的思想方法，需要用运动与变化的观点去研究和解决．质点运动型问题有时把函数、方程、不等式联系起来．当一个问题是求有关图形的变量之间关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解；当求图形之间的特殊位置关系和一些特殊的值时，通常建立方程模型去求解．【典型例题】例1．如图9—1，在△ABC中，∠B＝90°,AB＝6cm，BC＝3cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于42cm?（1995年山东省中考试题）分析：本题如果设t秒钟后，P、Q间的距离等于42cm，那么PB、QB都能用t来表示，根据勾股定理，可以列出关于t的方程求解．解：设t秒钟后，P、Q间的距离等于42cm．则PB＝（6－t）cm，QB＝2tcm．根据勾股定理，得（6－t）2＋（2t）2＝（42）2．解这个方程，得t1＝52，t2＝2．因为点Q从点B开始沿BC边移动到点C以只需要1.5秒，所以只取t＝52．答：52秒钟后，P、Q间的距离等于42cm．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置关系：PQ＝42cm，直接利用勾股定理，建立方程模型解决问题．例2．如图9—2，在△ABC中，∠C＝90°,BC＝8cm，sinB＝53，点P从点B开始沿BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿CA边向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，第几秒时PQ∥AB?（1997年陕西省咸阳市中考试题）知识就是力量2图9—3ABCQDP分析：如图9—2，假设运动开始后t秒时，PQ∥AB根据这时图形的特殊位置，利用平行线分线段成比例定理求解．解:设P、Q分别从B、C同时出发，运动开始后t秒时，PQ∥AB．则ACAQBCBP．∵sinB＝53，∴cosB＝54，tgB＝43．∴AC＝BC·tgB＝8·43＝6．∴BP＝2t，AQ＝AC－QC＝6－t．∴6682tt．解得t＝2.4(s)．∴P、Q分别从B、C同时出发，运动开始后2.4s时，PQ∥AB．说明：本题抓住变化中图形的特殊位置PQ∥AB，利用平行线分线段成比例定理求解．例3．如图9—3，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）几秒后△PBQ的面积等于8cm2；（2）写出S△DPQ与x的函数关系式；（3）求出S△DPQ最小值和S△DPQ最大值，并说明理由．（1998年湖北省襄樊市中考试题）分析：点P、Q在运动过程中，x在变，S△DPQ也在变，而S△DPQ与x之间可以根据条件列出方程或函数关系式求解．解：（1）根据题意，得21·2x·（6－x）＝8．即x2－6x+8＝0．解得x1＝2，x2＝4．所以2秒或4秒后△PBQ的面积等于8cm2．（2）S△DPQ＝S四边形ABCD－S△APD－S△PBQ－S△DCQ＝12·6－21·x·12－21·6·（12－2x）－21·（6－x）·2x＝x2－6x+36．（3）S△DPQ＝x2－6x+36＝（x－3）2+27．∴S△DPQ的最小值是27，S△DPQ的最大值是36．知识就是力量3A图9—4BCQP∵当|x－3|最小时，S△DPQ有最小值；当|x－3|最大时，S△DPQ有最大值，又∵0＜x≤6，∴当x＝3时，S△DPQ有最小值；当x＝6时，S△DPQ有最大值．说明：本题第（1）小题是利用方程模型求解，它是P、Q运动过程中，△PBQ处于特殊位置；而第（2）、(3)小题是利用函数模型求解．另外，在几何图形中求函数关系式，问题具有一定的实际意义，因此对函数关系式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需有约束条件．例4．如图9—4，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？（1998年江苏省宿迁市中考试题）分析：在P、Q分别从A、B同时出发运动的过程中，可能有两种状态出现：（1）BCBQABPB；（2）ABBQBCPB．因此，这两种情况都要考虑．解：设P、Q分别从A、B同时出发后，经xs，△PBQ与△ABC相似．则AP＝2x，BQ＝4x，PB＝8－2x．（1）如果BCBQABPB，那么可得164828xx．解得x＝2．（2）如果ABBQBCPB，那么可得841628xx．解得x＝54．所以经过2s钟或54s钟，△PBQ与△ABC都相似．说明：本题是一道需要讨论的质点运动型中考题，即在P、Q分别从A、B同时出发运动的过程中，有两种情况使△PBQ与△ABC相似．例5．如图9—5，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6），那么（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？（2002年河北省中考试题）ACBQDP图9—5知识就是力量4A图9—6BCDA图9—7BCDFE分析：（1）只要把QA、AP用含t的代数式表示，利用QA＝AP求解；（2）可以分别求出△QAC和△APC的面积；（3）同例4一样，要分两种情况求解．解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形．即6－t＝2t．解得t＝2（秒）．所以当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．（2）在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，∴S△QAC＝21QA•DC＝21（6－t）•12＝36－6t．∵在△APC中，AP＝2t，BC＝6，∴S△APC＝21AP•BC＝21•2t•6＝6t．∴S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36（cm2）．由计算结果发现：在P、Q两点的移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可以提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来求解：当BCAPABQA时，△QAP∽△ABC．∴62126tt．解得t＝1.2（s）．∴当t＝1.2s时，△QAP∽△ABC．当ABAPBCQA时，△PAQ∽△ABC．∴122126tt．解得t＝3（秒）．∴当t＝3s时，△PAQ∽△ABC．例6．如图9—6，正方形ABCD中，有一直径为BC的半圆，BC＝2cm．现有两点E、F，分别从点B、点A同时出发，沿线段BA以1cm/s的速度向点A运动，点F沿折线A—D—C以2cm/s的速度向点C运动．设点E离开点的B时间为t（s）．（1）当t为何值时，线段EF和BC平行？（2）设1＜t＜2，当t为何值时，EF与半圆相切？（3）当1≤t＜2时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求AP:PC的值．（2001年南昌市中考试题）分析：（1）当EF∥BC时，四边形BCFE是矩形；（2）线段EF与半圆相切时，EF＝BE+CF，可以过点F作KF∥BC交AB于K，构造直角三角形求解；（3）可以利用正方形ABCD中的不变关系AB∥DC，通过△AEP∽△CFP求解．知识就是力量5A图9—8BCDFEKA图9—9BCDFEP解：（1）如图9—7，设E、F出发后运动了ts时，有EF和BC平行．则BE＝t，CF＝4-2t．∴t＝4-2t．解得t＝34．∴当t＝34s时，线段EF和BC平行．（2）设E、F出发后运动了t秒时，EF与半圆相切．过点F作KF∥BC交AB于K．如图9—8．则BE＝t，CF＝4-2t，EK＝t-（4-2t）＝3t-4，EF＝BE+CF＝t+（4-2t）＝4-t．又∵EF2＝EK2+FK2，∴（4-2t）2＝（3t-4）2+22．解得t＝222．∵1＜t＜2，∴t＝222．∴当t＝34s时，线段EF与半圆相切．（3）答：当1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化．证明：1≤t＜2时，设E、F出发后运动了ts时，EF位置如图9—9所示，则BE＝t，AE＝2-t，CF＝4-2t．∴FCAE＝21242tt.又∵AB∥DC，∴△AEP∽△CFP.∴21FCAEPCAP.即点P的位置与t的取值无关．∴1≤t＜2时，点P的位置不会发生变化，且AP:PC的值是21．知识就是力量6图9—11ABCQDP图9—10ABCxDP【习题9】1．如图9—10，正方形ABCD的边长为2，有一点P在BC上运动，设PB＝x，梯形APCD的面积为y．（1）写出y与x的函数关系式；（2）如果S△ABP＝21S梯形APCD，请确定P点的位置．（2001年新疆维吾尔族自治区乌鲁木齐市中考试题）2．如图9—11，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动．同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：从A、B同时出发．设S表示面积，x表示移动时间（x＞0）．（1）运动开始后第几秒钟时，△PBQ的面积等于8cm2；（2）设运动开始后第ts钟时，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）t为何值时S最小？求出S最小值．（1995年云南省昆明市中考试题）3．如图9—12，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动．（1）P、Q两点，从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积33cm2？（2）P、Q两点，从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10cm？（1999年湖北省荆州中考试题）ACQDP图9—12B知识就是力量7图9—13ABCQP图9—15ABCQPODy图9—14A（28，0）PFB（0，28）OxE4．如图9—13，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC?（2）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．（2003年浙江省金华市中考试题）5．如图9—14所示，已知A、B两点的坐标分别为（28，0）和（0，28），动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个长度单位的速度向原点O运动．动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于E、F点．连接FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为．（1）当t＝1s时，求梯形OPFE的面积．t为何值时，梯形OPFE的面积最大，最大面积是多少？（2）设t的值分别取t1、t2时，（