Mathematica5教程

Mathematica5教程第1章Mathematica概述1.1运行和启动：介绍如何启动Mathematica软件，如何输入并运行命令1.2表达式的输入：介绍如何使用表达式1.3帮助的使用：如何在mathematica中寻求帮助第2章Mathematica的基本量2.1数据类型和常量：mathematica中的数据类型和基本常量2.2变量：变量的定义，变量的替换，变量的清除等2.3函数：函数的概念，系统函数，自定义函数的方法2.4表：表的创建，表元素的操作，表的应用2.5表达式：表达式的操作2.6常用符号：经常使用的一些符号的意义第3章Mathematica的基本运算3.1多项式运算：多项的四则运算，多项式的化简等3.2方程求解：求解一般方程，条件方程，方程数值解以及方程组的求解3.3求积求和：求积与求和第4章函数作图4.1二维函数作图：一般函数的作图，参数方程的绘图4.2二维图形元素：点，线等图形元素的使用4.3图形样式：图形的样式，对图形进行设置4.4图形的重绘和组合：重新显示所绘图形，将多个图形组合在一起4.5三维图形的绘制：三维图形的绘制，三维参数方程的图形，三维图形的设置第5章微积分的基本操作5.1函数的极限：如何求函数的极限5.2导数与微分：如何求函数的导数，微分5.3定积分与不定积分：如何求函数的不定积分和定积分，以及数值积分5.4多变量函数的微分：如何求多元函数的偏导数，微分5.5多变量函数的积分：如何计算重积分5.6幂级数：幂级数的展开及其计算第6章微分方程的求解6.1微分方程的解：微分方程的求解6.2微分方程的数值解：如何求微分方程的数值解第7章Mathematica程序设计7.1模块：模块的概念和定义方法7.2条件结构：条件结构的使用和定义方法7.3循环结构：循环结构的使用7.4流程控制：简单介绍控制函数第8章Mathematica中的常用函数8.1运算符和一些特殊符号：常用的和不常用一些运算符号8.2系统常数：系统定义的一些常量及其意义8.3代数运算：表达式相关的一些运算函数8.4解方程：和方程求解有关的一些操作8.5微积分相关函数：关于求导，积分，泰勒展开等相关的函数8.6多项式函数：多项式的相关函数8.7随机函数：能产生随机数的函数函数8.8数值函数：和数值处理相关的函数，包括一些常用的数值算法8.9表相关函数：创建表，表元素的操作，表的操作函数8.10绘图函数：二维绘图，三维绘图，绘图设置，密度图，图元，着色，图形显示等函数8.11流程控制函数第1章Mathematica概述1.1Mathematica的启动和运行Mathematica是美国Wolfram研究公司生产的一种数学分析型的软件，以符号计算见长，也具有高精度的数值计算功能和强大的图形功能。假设在Windows环境下已安装好Mathematica5.0，启动Windows后，在“开始”菜单的“程序”中单击，就启动了Mathematica5.0，在屏幕上显示如图1的Notebook窗口，系统暂时取名Untitled-1，直到用户保存时重新命名为止。图1输入1+1，然后按下Shif+Enter键，这时系统开始计算并输出计算结果，并给输入和输出附上次序标识In[1]和Out[1]，注意In[1]是计算后才出现的；再输入第二个表达式，要求系统将一个二项式x5+y5展开，按Shift+Enter输出计算结果后，系统分别将其标识为In[2]和Out[2]，如图2。图2在Mathematica的Notebook界面下，可以用这种交互方式完成各种运算，如函数作图，求极限、解方程等，也可以用它编写像C那样的结构化程序。在Mathematica系统中定义了许多功能强大的函数，我们称之为内建函数(built-infunction),直接调用这些函数可以取到事半功倍的效果。这些函数分为两类，一类是数学意义上的函数，如：绝对值函数Abs[x]，正弦函数Sin[x]，余弦函数Cos[x]，以e为底的对数函数Log[x]，以a为底的对数函数Log[a,x]等；第二类是命令意义上的函数，如作函数图形的函数Plot[f[x],{x,xmin,xmax}]，解方程函数Solve[eqn,x]，求导函数D[f[x],x]等。必须注意的是:Mathematica严格区分大小写，一般地，内建函数的首写字母必须大写，有时一个函数名是由几个单词构成，则每个单词的首写字母也必须大写，如：求局部极小值函数FindMinimum[f[x],{x,x0}]等。第二点要注意的是，在Mathematica中，函数名和自变量之间的分隔符是用方括号“[]”，而不是一般数学书上用的圆括号“()”，初学者很容易犯这类错误。如果输入了不合语法规则的表达式，系统会显示出错信息，并且不给出计算结果，例如：要画正弦函数在区间[-10，10]上的图形，输入plot[Sin[x],{x,-10,10}]，则系统提示“可能有拼写错误，新符号‘plot’很像已经存在的符号‘Plot’”，实际上，系统作图命令“Plot”第一个字母必须大写，一般地，系统内建函数首写字母都要大写。再输入Plot[Sin[x],{x,-10,10}，系统又提示缺少右方括号，并且将不配对的括号用紫色显示，如图3。图3一个表达式只有准确无误，方能得出正确结果。学会看系统出错信息能帮助我们较快找出错误，提高工作效率。完成各种计算后，点击“文件”“退出”退出，如果文件未存盘，系统提示用户存盘，文件名以“.nb”作为后缀，称为Notebook文件。以后想使用本次保存的结果时可以通过“文件”“打开”菜单读入，也可以直接双击它，系统自动调用Mathematica将它打开。1.2表达式的输入Mathematica提供了多种输入数学表达式的方法。除了用键盘输入外，还可以使用工具样或者快捷方式健入运算符、矩阵或数学表达式。1.数学表达式二维格式的输入Mathematic担提供了两种格式的数学表达式。形如x/(2+3x)+y*(x-w)的称为一维格式，形如23xyxxw的称为二维格式。你可以使用快捷方式输入二维格式，也可用基本输入工具栏输入二维格式。下面列出了用快捷方式输入二维格式的方法:数学运算数学表达式按键分式2xxCtrl+/2n次方xnxCtrl+^n开2次方xCtrl+2x下标x2xCtrl+_2例如输入数学表达式4(1)2xxy，可以按如下顺序输入按键：(,x,+,1,),Ctrl+^,+,4，→，Ctrl+/,Ctrl+2,2,x,+,y另外也可从“文件”菜单中激活“控制面板”“BasicInput”工具栏，也可输入，并且使用工具栏可输入更复杂的数学表达式，如下图4。图4图52.特殊字符的输入MathemMatica还提供了用以输入各种特殊符号的工具栏。基本输入工具栏包含了常用的特殊字符(上图)，只要单击这些字符按钮即可输入。若要输入其它的特殊字符或运算符号，必须使用从“文件”菜单中激活“控制面板”“CompleteCharacters”工具栏,如上图5，单击符号后即可输入。1.3Mathematica的联机帮助系统用Mathematica的过程中，常常需要了解一个命令的详细用法，或者想知系统中是否有完成某一计算的命令，联机帮助系统永远是最详细、最方便的资料库。1.获取函数和命令的帮助在Notebook界面下，用？或??可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法，获取简单而直接的帮助信息。例如，向系统查询作图函数Plot命令的用法？Plot系统将给出调用Plot的格式以及Plot命令的功能(如果用两个问号“??”，则信息会更详细一些)。?Plot*给出所有以Plot这四个字母开头的命令。2.Help菜单任何时候都可以通过按shift+F1键或点击“帮助”菜单项“帮助浏览”，调出帮助菜单，如图6所示。图6其中的各按钮用途如下：Built-inFunction内建函数，按数值计算、代数计算、图形和编程分类存放Add-ons&Links程序包附件和链接TheMathematicaBook一本完整的Mathematica使用手册GettingStarted初学者入门指南Demos多种演示Tour漫游MathematicFrontEnd菜单命令的快捷键，二维输入格式等MasterIndex按字母命令给出命令、函数和选项的索引表如果要查找Mathematica中具有某个功能的函数，可以通过帮助菜单中的Mahematica使用手册，通过其目录索引可以快速定位到自己要找的帮助信息。例如：需要查找Mathematica中有关解方程的命令，单击“TheMathematicaBook”按钮，再单击“Contents”，在目录中找到有关解方程的节次，点击相应的超链接，有关内容的详细说明就马上调出来了。如果知道具体的函数名，但不知其详细使用说明，可以在命令按钮Goto右边的文本框中键入函数名，按回车键后就显示有关函数的定义、例题和相关联的章节。例如，要查找函数Plot的用法，只要在文本框中键入Plot，按回车键后显示Plot函数的详细用法和例题的窗口，如图7。图7如果已经确知Mathematica中有具有某个功能的函数，但不知具体函数名，可以点击Built-inFunctions按钮，再按功能分类从粗到细一步一步找到具体的函数，例如，要找画一元函数图形的函数，点击Built-inFunctions→GraphicsandSound→2DPlots→Plot，找到Plot的帮助信息(如图7)。第5章微积分的基本操作5.1极限Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有：Limit[expr,x-x0]当x趋向于x0时求expr的极限Limit[expr,x-x0,Direction-1]当x趋向于x0时求expr的左极限Limit[expr,x-x0,Direction--1]当x趋向于x0时求expr的右极限趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞,∞例如：1．求22lim36xxxIn[1]:=Limit[Sqrt[x^2+2]/(3x-6),x-Infinity]Out[1]=132．求220sinlimxxxIn[2]:=Limit[Sin[x]^2/x^2,x-0]Out[2]=13．求0lnlimxxxIn[3]:=Limit[Log[x]/x,x-0,Direction--1]Out[3]=-∞5.2微分1.函数的微分在Mathematica中，计算函数的微分或导数是非常方便的，命令为D[f,x],表示对x求函数f的导数或偏导数。该函数的常用格式有以下几种D[f,x]计算导数dfdx或fxD[f,x1,x2,…]计算多重偏导数12nnfxxxD[f,{x,n}]计算n阶导数nndfdxD[f,x,NonConstants-{v1,v2,…}]计算导数dfdx，其中v1,v2…依赖于x例如：(1)求函数sinx的导数In[1]:=D[Sin[x],x]Out[1]=Cos[x](2)求函数exsinx的2阶导数In[2]:=D[Exp[x]*Sin[x],{x,2}]Out[2]=2exCos[x](3)假设a是常数，对sinax求导In[3]:=D[Sin[a*x],x]Out[3]=aCos[ax](4)二元函数f(x,y)=x2y+y2求f对x,y的一阶和二阶偏导In[4]:=f[x_,y_]=x^2*y+y^2Out[4]=x2y+y2In[5]:=D[f[x,y],x]Out[5]=2xyIn[6]:=D[f[x,y],y]Out[6]=x2+2yIn[7]:=D[f[x,y],x,y]Out[7]=2xIn[8]:=D[f[x,y],{x,2}]Out[8]=2yIn[9]:=D[f[x,y],{y,2}]Out[9]=2Mathematica可以求函数式未知的函数微分，通常结果使用数学上的表示法。例如：In[10]:=D[x*g[x],x]Out[10]=g