MATLAB作业2参考答案

MATLAB作业二参考答案1、试求出如下极限。（1）2325(2)(3)lim(5)xxxxxxx，（2）23312lim()xyxyxyxy，（3）222222001cos()lim()xyxyxyxye【求解】极限问题可以由下面语句直接求解。symsx;f=(x+2)^(x+2)*(x+3)^(x+3)/(x+5)^(2*x+5);limit(f,x,inf)ans=exp(-5)symsxyfa=(x^2*y+x*y^3)/(x+y)^3;limit(limit(fa,x,-1),y,2)ans=-6fc=(1-cos(x^2+y^2))*exp(x^2+y^2)/(x^2+y^2);limit(limit(fc,x,0),y,0)ans=02、试求出下面函数的导数。（1）()sin1xyxxxe,(2)22atanln()yxyx【求解】由求导函数diff()可以直接得出如下结果，其中(2)为隐函数，故需要用隐函数求导公式得出导数。symsx;f=sqrt(x*sin(x)*sqrt(1-exp(x)));simple(diff(f))ans=1/2/(x*sin(x)*(1-exp(x))^(1/2))^(1/2)*(sin(x)*(1-exp(x))^(1/2)+x*cos(x)*(1-exp(x))^(1/2)-1/2*x*sin(x)/(1-exp(x))^(1/2)*exp(x))symsx,y;f=atan(y/x)-log(x^2+y^2);f1=simple(-diff(f,x)/diff(f,y))f1=(y+2*x)/(x-2*y)3、假设1cosxuy，试验证22uuxyyx。【求解】证明二者相等亦可以由二者之差为零来证明，故由下面的语句直接证明。symsxy;u=acos(x/y);diff(diff(u,x),y)-diff(diff(u,y),x)ans=04、假设20(,)xytfxyedt，试求222222xfffyxxyy。【求解】由下面的命令可以得出所需结果。symsxytf=int(exp(-t^2),t,0,x*y);x/y*diff(f,x,2)-2*diff(diff(f,x),y)+diff(f,y,2)simple(ans)ans=-2*exp(-x^2*y^2)*(-x^2*y^2+1+x^3*y)5、假设已知函数矩阵323(,,)sinyxezfxyzxyz，试求出其Jacobi矩阵。【求解】Jacobi矩阵可以由下面的语句直接得出。symsxyzF=[3*x+exp(y)*z;x^3+y^2*sin(z)];jacobian(F,[x,y,z])ans=[3,exp(y)*z,exp(y)][3*x^2,2*y*sin(z),y^2*cos(z)]6、试求解下面的不定积分问题。（1）(1)()1xxIxdxxx，（2）()cosaxIxxebxdx【求解】（1）可以用下面的语句求出问题的解symsx;f=sqrt(x*(x+1))/(sqrt(x)+sqrt(x+1));int(f,x)（2）可以求出下面的结果symsabxf=x*exp(a*x)*cos(b*x);int(f,x)7、试求解下面的定积分或无穷积分。（1）0cosxIdxx，（2）214011xIdxx【求解】①可以直接求解symsx;int(cos(x)/sqrt(x),x,0,inf)ans=1/2*2^(1/2)*pi^(1/2)②可以得出symsx;int((1+x^2)/(1+x^4),x,0,1)ans=1/4*2^(1/2)*pi8、假设5()sin(3/3)xfxex，试求出积分函数0()()()tRtfxftxdx。【求解】定义了x的函数，则可以由subs()函数定义出t+x的函数，这样由下面的语句可以直接得出R函数。symsxt;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);R=int(f*subs(f,x,t+x),x,0,t);simple(R)ans=1/1360*(15*exp(t)^10*3^(1/2)*cos(3*t)-25*cos(9*t)+25*exp(t)^10*3^(1/2)*sin(3*t)-68*cos(3*t)-15*3^(1/2)*cos(9*t)-25*3^(1/2)*sin(9*t)-15*exp(t)^10*sin(3*t)+15*sin(9*t)+93*exp(t)^10*cos(3*t))/exp(t)^159、试对下面函数进行Fourier幂级数展开。（1）()()sin,;fxxxx（2）(),;xfxex【求解】①可以立即由下面的语句求出。function[A,B,F]=fseries(f,x,n,a,b)ifnargin==3,a=-pi;b=pi;endL=(b-a)/2;ifa+b,f=subs(f,x,x+L+a);endA=int(f,x,-L,L)/L;B=[];F=A/2;%¼ÆËãa0fori=1:nan=int(f*cos(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;bn=int(f*sin(i*pi*x/L),x,-L,L)/L;A=[A,an];B=[B,bn];F=F+an*cos(i*pi*x/L)+bn*sin(i*pi*x/L);endifa+b,F=subs(F,x,x-L-a);endsymsx;f=(sym(pi)-abs(x))*sin(x);[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);FF=1/2*pi*sin(x)+16/9/pi*sin(2*x)+32/225/pi*sin(4*x)+48/1225/pi*sin(6*x)+64/3969/pi*sin(8*x)+80/9801/pi*sin(10*x)②可以由下面语句求解，并得出数学公式为symsx;f=exp(abs(x));[A,B,F]=fseries(f,x,10,-pi,pi);Fvpa(F,10)ans=7.047601355-7.684221126*cos(x)+2.819040541*cos(2.*x)-1.536844225*cos(3.*x)+.8291295709*cos(4.*x)-.5910939328*cos(5.*x)+.3809514246*cos(6.*x)-.3073688450*cos(7.*x)+.2168492724*cos(8.*x)-.1874200274*cos(9.*x)+.1395564625*cos(10.*x)10、试求出下面函数的Taylor幂级数展开。（1）0sin,xtdtt（2）2ln(1).xx（3）5sin(3/3)xex分别关于0x、xa的幂级数展开。（4）对2222221cos()(,)()xyxyfxyxye关于1x、0y进行二维Taylor幂级数展开。【求解】由下面的语句可以分别求出各个函数的幂级数展开，symstx;f=int(sin(t)/t,t,0,x);taylor(f,x,15)symsx;f=log(x+sqrt(1+x^2));taylor(f,x,15)该函数的前4项展开symsxa;f=exp(-5*x)*sin(3*x+sym(pi)/3);taylor(f,x,4,a)该函数需要使用Maple的展开函数。symsxy;f=(1-cos(x^2+y^2))/((x^2+y^2)*exp(x^2+y^2));F=maple('mtaylor',f,'[x=1,y]',4)11、求级数22111111()()()232323nn的前n项及无穷项的和。【求解】下面的语句可以直接求解级数的和。symsnk;symsum(1/2^k+1/3^k,k,1,n)ans=-2*(1/2)^(n+1)-3/2*(1/3)^(n+1)+3/2symsum(1/2^k+1/3^k,k,1,inf)ans=3/2当然，无穷级数的和还可以通过极限的方式求出。12、试求出下面的极限。（1）22221111lim[]214161(2)1nn，（2）22221111lim()23nnnnnnn。【求解】①可以用下面两种方法求解。symskn;symsum(1/((2*k)^2-1),k,1,inf)ans=1/2limit(symsum(1/((2*k)^2-1),k,1,n),n,inf)ans=1/2②可以由下面的语句直接求解。symsknlimit(n*symsum(1/(n^2+k*pi),k,1,n),n,inf)ans=113、试对下面数值描述的函数求取各阶（5）数值微分，并用梯形法求取定积分。ix00.10.20.30.40.50.60.70.80.911.11.2iy02.2083.2063.4443.2412.8162.3111.811.360.9820.6790.4470.277【求解】可以由下面的语句得出函数的各阶导数，得出的曲线如图3-2所示。function[dy,dx]=diff_ctr(y,Dt,n)yx1=[y00000];yx2=[0y0000];yx3=[00y000];yx4=[000y00];yx5=[0000y0];yx6=[00000y];switchncase1dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)+7*diff(yx3)-diff(yx4))/(12*Dt);L0=3;case2dy=(-diff(yx1)+15*diff(yx2)-15*diff(yx3)+diff(yx4))/(12*Dt^2);L0=3;case3dy=(-diff(yx1)+7*diff(yx2)-6*diff(yx3)-6*diff(yx4)+7*diff(yx5)-diff(yx6))/(8*Dt^3);L0=5;case4dy=(-diff(yx1)+11*diff(yx2)-28*diff(yx3)+28*diff(yx4)-11*diff(yx5)+diff(yx6))/(6*Dt^4);L0=5;enddy=dy(L0+1:end-L0);dx=([1:length(dy)]+L0-2-(n2))*Dt;x=[0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,1.1,1.2];y=[0,2.208,3.206,3.444,3.241,2.816,2.311,1.81,1.36,0.982,0.679,0.447,0.277];[dy1,dx1]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),1);[dy2,dx2]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),2);[dy3,dx3]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),3);[dy4,dx4]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),4);plot(dx1+x(1),dy1,'-',dx2+x(1),dy2,'--',dx3+x(1),dy3,':',dx4+x(1),dy4,'-.')另一方法[dy1,dx1]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),1);subplot(221),plot(dx1,dy1,'-')[dy2,dx2]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),2);subplot(222),plot(dx2,dy2,'-')[dy3,dx3]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),3);subplot(223),plot(dx3,dy3,':')[dy4,dx4]=diff_ctr(y,x(2)-x(1),4