Matlab在高等数学和线性代数中的应用

Matlab在高等数学和线性代数中的应用开放实验指导书曲庆国编山东交通学院理学院2014年9月⒈目的本实验旨在向学生介绍一种解决专业问题的快速有效且具有强大功能的科学与工程计算软件。通过本实验，应使学生掌握的内容是：利用Matlab求极限，求导数，求极值，求积分，级数求和；利用Matlab求向量组的最大无关组，求齐次和非齐次线性方程组，求方阵的特征值和特征向量，求正交变换把二次型化成标准型。该实验主要为上机实验，要求学生按要求上机实现相关的程序的设计，自己动手编写程序并验证程序的正确性。⒉实验任务分解通过一些实例初步掌握Matlab在高等数学和线性代数中的应用。实验任务可分解为：Matlab在高等数学的应用，Matlab在线性代数中的应用(一)，Matlab在线性代数中的应用(二)。⒊实验环境介绍长清校区数学实验室⒋实验时数20学时实验一Matlab在高等数学的应用（8学时）实验目的：1.利用Matlab求极限；2.利用Matlab求导数；3.利用Matlab求极值；4.利用Matlab求积分；5.利用Matlab对级数求和。实验要求:给出程序和实验结果。实验相关理论内容:1利用Matlab求极限Matlab求极限的命令为：limit(F,x,a)limit(F,a)limit(F)limit(F,x,a,'right')limit(F,x,a,'left')2．利用Matlab求导数Matlab求导数的命令为：Y=diff(X)Y=diff(X,n)Y=diff(X,n,dim)3．利用Matlab求极值先用diff求出导函数，再用solve求出导函数的根。4．利用Matlab求积分Matlab求积分的命令为：R=int(S)R=int(S,v)R=int(S,a,b)R=int(S,v,a,b)5．利用Matlab对级数求和Matlab级数求和的命令为：r=symsum(s)r=symsum(s,v)r=symsum(s,a,b)r=symsum(s,v,a,b)实验题目：一、（1）2011lim;1cosxxx（2）lim1xxax二、求函数2ln1xyx的三阶导数。三、求函数32()681fxxxx的极值点，并画出函数的图形。四、（1）求不定积分21;11dxx（2）求定积分22coscos2.xxdx五、求如下级数的和：（1）121;2nnn（2）211.nn实验二Matlab在线性代数中的应用(一)（6学时）实验目的：1.利用Matlab求出向量组的一个最大无关组；2.利用Matlab求齐次线性方程组；3.利用Matlab求非齐次线性方程组。实验要求:给出程序和实验结果。实验相关理论内容:1．向量组的线性相关性求列向量租A的一个最大无关组，可用命令rref(A)将A化为行最简形，其中单位向量对应的列向量即为最大无关组所含向量。2.齐次线性方程组在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足0Ax的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。3.非齐次线性方程组Matlab中解非齐次线性方程组可用使用“\”。虽然表面上只是一个简单的符号，而它的内部却包含许多自适应算法，如对超定方程组（无解）用最小二乘法，对欠定方程组（多解）它将给出范数最小的一个解。另外求解欠定方程组（多解）可以使用求矩阵A的行最简形命令rref(A)，求出所有的基础解系。对超定方程组，可以用pinv求解。Pinv使用范围比“\”更广泛，其可给出最小二乘解或最小范数解。实验题目：一、求下列矩阵列向量组的一个最大无关组。12102242662102333334A二、设123221212122Aaaa，12140342Bbb，验证123,,aaa是3R的一个基，并把12,bb用这个基线性表示。三、求方程组的通解123412341234220,2220,430.xxxxxxxxxxxx四、求超定方程组121212122411,353,26,27,.xxxxxxxx五、用最小二乘法解方程组12131231231,2,0,21.xxxxxxxxxx六、求解方程组1234123412340,31,21/2.xxxxxxxxxxxx实验三Matlab在线性代数中的应用(二)（6学时）实验目的：1.利用Matlab求方阵的特征值及相应的特征向量；2.利用Matlab求一个正交变换把二次型化成标准型。实验要求:给出程序和实验结果。实验相关理论内容:1、Matlab求方阵的特征值及相应的特征向量Matlab求特征值及特征向量的命令为：d=eig(A)d=eig(A,B)[V,D]=eig(A)[V,D]=eig(A,'nobalance')[V,D]=eig(A,B)[V,D]=eig(A,B,flag)2、Matlab求一个正交变换把二次型化成标准型应用功能强大的eig命令编程可以实现这一功能。实验题目：一、求下列矩阵的特征值及相应特征向量221212;122A351626192433272123253192222720828331710153053412141643629131811B;11111234136101410=.20C二、求一个正交变换xpy，把二次型121314232434222222fxxxxxxxxxxxx化成标准型。三、判别二次型222123122454fxxxxx的正定性，并求正交变换把二次型化成标准型。