Jordan标准形

Jordan标准型与矩阵可对角化摘要：本文归纳总结矩阵论书本中的内容，以矩阵论的性质为基础，简单介绍了Jordan标准型定理以及定理的证明，再用Jordan标准型定理去解决Hamilton-Cayley定理的证明，以及在求解线性微分方程组中的应用。关键词：矩阵对角化；-矩阵；Jordan标准型；线性微分方程；1引言矩阵表示方法贯穿于高等代数的各个章节，通过矩阵表示，许多高等代数中的问题都可归结为矩阵问题，而矩阵标准形的方法又是解决矩阵问题的重要方法之一，它的核心思想就是删简就繁，充分体现了解决数学问题的“转化思想”。矩阵的Jordan标准形问题的讨论，源于如何选择线性空间的基，使得线性变换在该基下的矩阵具有尽可能简单的形式完成这一问题。矩阵内容，是大学学习中必须学习的知识点！其广泛的应用性，还有在处理数据上的优越性，矩阵是学习很多知识体系的支柱，在数据结构，自动控制原理，常微分计算等等上都是基础！Jordan标准型的用处就在于矩阵不能对角化的时候利用Jordan标准型这种最简化的结果来做题。证明关于一般方阵（不能保证对角化）的某些命题，需要用到Jordan标准型，比如用Jordan标准型求解线性微分方程组。Jordan标准型是最接近对角的矩阵并且其有关的理论包含先前有关与对角阵相似的理论作为特例。此外，Jordan标准型的广泛应用涉及到Hamilton-Cayley定理的证明，矩阵分解，线性微分方程组的求解等等。2-矩阵由于Jordan标准型的求解与特征多项式有关，而从函数的角度看,特征多项式实际上是特殊的函数矩阵（元素是函数的矩阵），这就引出对-矩阵的研究。2.1-矩阵及其标准型定义1称矩阵()(())ijAf为-矩阵,其中元素()(1,2,,;1,2,,)ijfimjn，为数域F上关于的多项式。定义2称n阶-矩阵()A是可逆的，如果有nABBAI，并称B()为()A的逆矩阵，反之亦然。定义3如果矩阵()A经过有限次的初等变换化成矩阵B()，则称矩阵()A与B()等价，记为AB。2．2-矩阵的性质定义4矩阵()A的Smith标准型中的非零对角元12r(),(),d()dd称为()A的不变因子。定义5矩阵()A的所有非零k阶子式的首一（最高次项系数为1）最大公因式Dk称为()A的k阶行列式因子。定理4等价矩阵具有相同的秩和相同的各级行列式因子。定理5矩阵A()的Smith标准型是唯一的，并且111()()(),2,3,,()kkkDdDdkrD()()。定理6矩阵()A与B()等价的充要条件是它们有相同的行列式因子（或相同的不变因子）。证明：上一个定理的证明给出了-矩阵的行列式因子与不变因子之间的关系。这个关系式说明行列式因子与不变因子是相互确定的。因此，说两个矩阵有相同的各阶行列式因子,就等于说它们有相同的各级不变因子。必要性已由定理1.2.1给出。充分性显然.事实上，若-矩阵()A与B()有相同的不变因子，则()A与B()和同一个标准型等价，因而()A与B()等价。证毕。定义6矩阵()A的所有非常数不变因子的首项系数为1的不可约因式方幂的全体称为()A的初等因子。定理7矩阵()A与B()等价的充要条件是它们有相同的初等因子,并且秩相等。3Jordan标准型与矩阵可对角化在掌握了-矩阵的基本概念:行列式因子、不变因子、初等因子基础上我们将进入Jordan标准型与矩阵可对角化理论的核心。3．1对角化的定义及判定定理定义7如果方阵A相似于对角阵，即存在可逆矩阵P和对角阵D，使得1APDP，则称A可对角化。定理8(对角化定理)n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。事实上，1APDP，D为对角阵的充分必要条件是P的列向量是A的n个线性无关的特征向量。此时，D的对角线上的元素分别是A的对应于P中的特征向量的特征值。换句话说，A可对角化的充分必要条件是有n个线性无关的特征向量形成n的基,我们称这样的向量为特征向量基。证首先看到，若P是列为12,,,n的任一n阶矩阵，D是对角线元素为12,,,n的对角阵，那么1212,,,,,,nnAPAAAA（1）而121122,,,nnnAPDP（2）现在假设A可对角化且1APDP，用P右乘等式两边，则有APPD。此时由（1）和（2）得121122,,,,,,nnnAAA（3）由列相等，有111222=,=,,=nnnAAA（4）因为P可逆,故P的列12,,,n必定线性无关。同样，因为这些12,,,n非零，（4）表示12,,,n是特征值,12,,,n是相应的特征向量。这就证明了定理中第一,第二和随后的第三个命题的必要性。最后，给定任意n个特征向量12,,,n，用它们作为矩阵P的列，并用相应的特征值来构造矩阵D，由（1）~（3），等式APPD成立而不需要特征向量有任何条件。若特征向量是线性无关的，则P是可逆的，由APPD可推出1APDP。证毕。3．2Jordan标准型与对角化的关系定义8形如1212()()()knnnkJJJJ,（12++=knnnn）的块对角阵为Jordan型矩阵，并称方阵1(),(1,2,,)1iiiiiniinnJik为in阶Jordan块。注意当()iniJ都是一阶Jordan块时，即121122(),(),,()knnnkkJJJ,有J为对角阵,由此看出对角阵其实只是Jordan阵的特例。性质1矩阵J可对角化，当且仅当kn。性质2Jordan块的个数k（相同的子块计重复出现的次数）是J的.线性无关特征值向量的个数。定理9两个数字方阵相似的充要条件是它们的特征矩阵等价。定义9称n阶数字矩阵A的特征矩阵EA的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A的行列式因子、不变因子和初等因子。定理10两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的行列式因子（或不变因子）。定理11复数域上两个数字方阵相似的充要条件是它们有相同的初等因子。注意其实,结合上定理,不难发现初等因子ma与m阶Jordan块mm11aaa存在一一对应关系。因此可利用特征矩阵的初等因子求矩阵的Jordan标准型,即有如下定理：定理12(Jordan标准型定理)复数域上任何一个数字方阵A都与一个Jordan型矩阵相似，这个Jordan型矩阵除去其中Jordan块排序外是被A唯一确定的，称它为A的Jordan标准型。证明:设n阶复矩阵A的初等因子为12mmm12(),(),,()ss其中12,,,s可能有相同的,指数12smmm也可能有相同的。每一个初等因子m()ii对应于一个Jordan块，1(),(1,2,,)1iiiiiniinnJis。这些Jordan块构成一个Jordan型矩阵，12sJJJJ易知,J的初等因子就是12mmm12(),(),,()ss。由于J与A有相同的初等因子，所以它们相似。假设有另一个Jordan型矩阵K与A相似，那么与A有相同的初等因子，因此，K与J除了其中Jordan块排序外是相同的，唯一性得证，证毕。4Jordan标准型的性质及应用Jordan标准化的应用是广泛的，下面将利用其给出HamiltonCayley定理的证明，并说明其在矩阵分解及在求解线性微分方程组中的应用。4．1Jordan标准型在证明HamiltonCayley定理中的应用定理13（HamiltonCayley定理）设A是复数域C上任意n阶方阵，A的特征多项式为()IA||,则()0A，其中I为n阶单位矩阵。证明：存在秩为n的n阶复方阵P，使1PAPJ，其中J是A的Jordan标准型,可以写成12nJ，其中代表1或0,因为12,,,n是A的特征值，故12()=---nIA||()()().从而12()---nAAIAIAI=()()()11111212---(---nnPJPIPJPIPJPIPJIJIJIP=()()()=)()()121212112000nnnnPP=1210000000nnPP===0利用HamiltonCayley定理可以简化矩阵计算。其实，该定理换成线性变换语言为：定理14（关于线性变换的HamiltonCayley定理）设V为n维复线性空间,:TVV为给定的线性变换,设12m，，为T的特征值。1()(()Tmf)为T的特征多项式.令g()T表示将()Tf中的用T代替，k用kI代替之后所得到的常系数变换，即1g()((mTTITI）），则g()T是零算g()T子,即将V中每一个向量都映为零向量：g()()0,TxxV.注意每个特征值k都满足多项式方程()0Tf,HamiltonCayley定理则是说T满足方程()0TfT。4．2Jordan标准型在矩阵分解中的应用定理15复数域C上任意n阶方阵,都等于两个对称矩阵的乘积,并且其中之一是的非退化的。证明：设A的Jordan标准型为12SJJJJ则存在P，1PAPJ令111iQ,iQ与iJ阶数相同。令12SQQQQ,则有'1',QQQJQJQ.故11'11'''11'''()(())()APJPPQJQPPQPAPQPPQPAPQP令11'''(),BPQPCAPQP,则ABC其中,B对称且非退化,C为对角阵,这是因为'''''1''1''CPQPAPQPAPPPQPAPPPQJP''''''1'''()PQJQQPPJQPPJPPQPAPQPC.定理16设A是数域P上的n阶方阵,能分解成P上一次因子之积，则AMN，其中M是幂零阵，N相似于对角阵，且MNNM。证明（证法一）AM()能分解成P上一次因子之积，说明A的Jordan标准型J是一个n阶方阵12SJJJJ令01010iiiiiiJBCiB是幂零Jordan块,iC是对角阵。设iJ的阶为ir,12max(,,,)nkrrr。则1111()APJPPBCPPBPPCP其中1122,SSBCBCBCBC.令11,PBPMPCPN则1100kkMPBPPP,N相似于对角阵C，且111111MNPBPPCPPBCPPCBPPCPPBPNM证毕.证明（证法二）由定理12,存在可逆矩阵P，使1APJP,其中11()()smmsJJJ并且()(1,,)imiJis是主对角线元为i的im阶Jordan块。令01(),(1,,)10iiiiimiimmmNJIis,易知iN是幂零矩阵，因而11sNNPPN也是幂零矩阵。在令111smsmIMPPI,则M相似于对角矩