MATLAB数学建模1三角函数的计算和曲线族的画法

1三角函数的计算和公式的作图[问题1.1]三角函数的计算求证：三角函数31cos(3coscos3)4用MATLAB的符号计算验证，再用曲线验证。[解析]利用三角公式可得cos3θ=cos2θcosθ=11(1cos2)cos(coscos2cos)22111[cos(coscos3)](3coscos3)224证毕。[程序]MATH1_1.m%三角函数的计算和验证clear%清除变量theta=-180:5:180;%角度向量th=theta*pi/180;%化为弧度数figure%开创图形窗口plot(theta,cos(th).^3,theta,(3*cos(th)+cos(3*th))/4,'.')%画线和点symsx%定义符号变量y=1/4*cos(3*x)+3/4*cos(x)%三角函数的展开式expand(y)%展开三角函数y=cos(x)^3%三角函数simple(y)%展开三角函数M1图练习：验证31sin(3sinsin3)42[问题1.2]曲线族的画法根据麦克斯韦速率分布率律，求最概然速率？氧气分子在300K到600K温度区间(温度间隔为100K)，速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？氢气、氦气、氖气、氮气、氧气和氟气分子的分子量分别为2、4、20、28、32和38，这些气体分子在300K时的速率分布曲线有什么异同？最概然速率是多少？[解析]麦克斯韦速率分布函数为23/22()4π()exp()2π2mmvfvvkTkT(1.2.1)其中，k=1.38×10-23J/K是玻尔兹兹常数，m是分子质量，v是分子速率。当v=0时，f(v)=0；当v→∞时，f(v)→0。由于f(v)不小于零，因此f(v)必有极大值。令df(v)/dv=0，即23/22d()24π()(2)exp()0d2π22fvmmvmvvvvkTkTkT可得p2kTvm(1.2.2)这个速率称为最概然速率。在相同的速率间隔之内，最概然速率附近的分子数最多。分子向着各个方向运动时，在很大或很小的速率附近，分子数都很少。分布函数的极大值为pp4()eπfvv(1.2.3)温度越高或分子质量越小，最概然速率就越大，分布函数的极大值就越小。质量一定的分子，温度是参数，麦克斯韦速率分布的函数曲线会随参数不同而有所改变；在温度一定的情况下，不同分子的质量是参数，函数曲线会随参数而有所改变。[算法]将麦克斯韦速率分布函数定义为速率、质量和温度的内线函数。在质量一定的情况下，取温度为参数向量，取速率为自变量向量，化为矩阵，计算分布函数，用矩阵画线法画以温度为参数的速率分布曲线族。在温度一定的情况下，取质量为参数向量，取速率为自变量向量，化为矩阵，计算分布函数，用矩阵画线法画以质量为参数的速率分布曲线族。用内线函数还能计算峰值坐标，画峰值杆图和峰值线。[程序]MATH1.2.m如下。%麦克斯韦速率分布律clear%清除变量f=inline('4*pi*(m/2/pi/1.38E-23./T).^1.5.*v.^2.*exp(-m.*v.^2/2/1.38E-23./T)',...'v','T','m');%内线函数k=1.38E-23;%玻尔兹曼常数u=1.66E-27;%原子质量单位m=32*u;%氧分子质量t=(3:6)*100;%热力学温度向量l=length(t);%向量长度v=0:20:1600;%速率向量3[T,V]=meshgrid(t,v);%温度和速率矩阵F=f(V,T,m);%速率分布函数矩阵figure%创建图形窗口plot(v,F','LineWidth',2)%画曲线族gridon%加网格h=legend([repmat('\itT\rm=',l,1),num2str(t'),repmat('K',l,1)]);%图例取句柄fs=16;%字体大小set(h,'FontSize',fs)%放大图例title('温度不同的麦克斯韦速率分布曲线的比较','FontSize',fs)%标题xlabel('速率\itv\rm/m\cdots^-^1','FontSize',fs)%横坐标ylabel('速率分布函数\itf\rm(\itv\rm)/s\cdotm^-^1','FontSize',fs)%纵坐标text(0,max(F(:)),'氧气O_2:32u','FontSize',fs)%显示文本vp=sqrt(2*k*t/m);%最概然速率向量fp=f(vp,t,m);%峰值函数holdon%保持图像stem(vp,fp,'--','filled')%画直杆图text(vp,fp,num2str(vp',4),'FontSize',fs)%显示最概然速率t=250:1000;%温度向量vp=sqrt(2*k*t/m);%最概然速率向量fp=f(vp,t,m);%峰值函数plot(vp,fp,'LineWidth',2)%画峰值曲线m=[2,4,20,28,32,38]*u;%分子量向量l=length(m);%向量长度n='氢氦氖氮氧氟';%气体分子名t=300;%热力学温度[M,V]=meshgrid(m,v);%质量和速率矩阵F=f(V,t,M);%速率分布函数矩阵figure%创建图形窗口plot(v,F,'LineWidth',2)%画曲线族gridon%加网格h=legend([n',repmat('气:',l,1),num2str(m'/u)]);%图例取句柄set(h,'FontSize',fs)%放大图例title('分子质量不同的麦克斯韦速率分布曲线的比较','FontSize',fs)%标题xlabel('速率\itv\rm/m\cdots^-^1','FontSize',fs)%横坐标ylabel('速率分布函数\itf\rm(\itv\rm)/s\cdotm^-^1','FontSize',fs)%纵坐标vp=sqrt(2*k*t./m);%最概然速率向量fp=f(vp,t,m);%峰值函数holdon%保持图像stem(vp,fp,'--','filled')%画直杆图text(vp,fp,num2str(vp',4),'FontSize',fs)%显示最概然速率m=(2:45)*u;%质量向量vp=sqrt(2*k*t./m);%最概然速率向量fp=f(vp,t,m);%峰值函数4plot(vp,fp,'--','LineWidth',2)%画峰值曲线text(0,max(F(:)),['\itT\rm=',num2str(t),'K'],'FontSize',fs)%显示文本M1.2a图M1.2b图[图示](1)如M1.2a图所示，氧气分子在300K时的最概然速率约为395m/s，在600K时的最概然速率约为558m/s。对于分子质量一定的气体，温度升高则峰值降低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率小的分子数量减少了，速率大的分子数量增加了，分子运动得更剧烈了。(2)如M1.2b图所示，氢气分子的分子量是2，是氧气分子质量的1/16，在300K的温度下，最概然速率是氧气分子的4倍，达到1579m/s。氟气分子的分子量是38，在相同的温度下的最概然速率只有362m/s。当气体温度一定时，质量较小的分子的速率分布曲线的峰值较低，说明：在相同的速率间隔内，向着各个方向运动的速率大的分子数量比较多，速率小的分子数量比较少。地球的逃逸速率约为1120m/s，由于氢气分子速率分布较宽，很多氢气分子的速率超过逃逸速度，能够脱离地球的吸引，因而大气中的氢气比较少。同理，空气中氦气也比较少。