Parseval等式的应用以及Fourier积分

（一）Parseval等式的推导P323第18题（即ex10.1的第18题）：等式。所得结果证明并且利用，的傅里叶系数：积函数为其傅里叶系数，求卷为周期的连续函数，是以设ParsevalnBAAdttxftfxFbaaxfnnnn),,3,2,1(,)()(1)(,2)(0,0;,3,2,1,0sin)(1)()()()(1)()(1)(,,)()(1)(2RF(x)1nnxdxxFBxFxxFduuxfufduufuxfxFutxdttxftfxFnxx是偶函数。从而可知都成立对于任意的则令由且是偶函数。理由如下为周期的连续函数；并上的以显然仍然是）解（等式。的此即时，有特别地，当，，即上处处一致绝对收敛于在的傅里叶级数收敛定理知，上处处连续以及在（）由解（交换积分顺序可得）连续皆可交换积分顺序常义积分只要被积函数注：含参变量的交换积分顺序可得）解（ParsevalxfdxxfFbaaxRxdttxftfxFnxbaadttxftfxFRnxbaanxAAxFDirichletRxFnbanuduufnuduufdtduntnuntnuuftfdtdutunuftfdtconnxdxtxftfdtnxdxtxftfAnxdxdttxftfconnxdxxFAaduufdttfdtduuftfdtdxtxftfdtdxtxftfAdxdttxftfdxxFAnnnnnnnnnnnnnttutxnnttutx)(.)(1)0()(20.)()(1)(cos)(2)()(1)(cos)(2cos2)()3;,3,2,1,)sin)(1()cos)(1())sinsincos)(cos(1)((1())(cos)(1)((1))(1)((1)cos)()(1(1,cos))()(1(1)(1;))(1)()(1())(1)((1))(1)((1))()(1(1(,))()(1(1)(1221222012220122201022222000利用Parseval等式以及f(x)的傅里叶级数可以求得很多数项级数的和。(二).迪利克雷（Dirichlet）收敛定理：设以2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑，则有.,3,2,1,sin)(1;,3,2,1,0,cos)(1)1(.,2)0()0()(),()sincos(2010nnxdxxfbnnxdxxfaxfxfxfxxfnxbnxaannnnn其中，否则的连续点时是当特别地，（1）若以2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是奇函数，则有.,3,2,1,sin)(2;,3,2,1,0,0cos)(1)2(.,2)0()0()(),(sin001nnxdxxfbnnxdxxfaxfxfxfxxfnxbnnnn此时，否则的连续点时是当（2）若以2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是偶函数，则有.,3,2,1,0sin)(1;,3,2,1,0,cos)(2)3(.,2)0()0()(),(cos20010nnxdxxfbnnxdxxfaxfxfxfxxfnxaannnn此时，否则的连续点时是当(3)设以2为周期的函数f(x)在R上处处连续并且在任何有限区间上逐段光滑，则上述的每个f(x)的Fourier级数在R上处处绝对且一致收敛于f(x).（三）巴塞瓦尔（Parseval）等式（1）若以2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是],[中的可积且平方可积函数（如连续函数），则由上述等式：个）可以分别得到以下）、（、（Parseval332)1(000.)()(1)(2)1(2221220xfdxxfbaannn（付氏级数的巴塞瓦尔等式）.)()(1)2(2221xfdxxfbnn（正弦级数的巴塞瓦尔等式）.)()(12)3(221220xfdxxfaann（余弦级数的巴塞瓦尔等式）(四).迪利克雷（Dirichlet）收敛定理：设以)0(2ll为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑，则有.,3,2,1,sin)(1;,3,2,1,0,cos)(1)4(.,2)0()0()(),()sincos(2010ndxlxnxflbndxlxnxflaxfxfxfxxflxnblxnaallnllnnnn其中，否则的连续点时是当特别地，（1）若以l2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是奇函数，则有.,3,2,1,sin)(2;,3,2,1,0,0cos)(1)5(.,2)0()0()(),(sin001ndxlxnxflbndxlxnxflaxfxfxfxxflxnblnllnnn此时，否则的连续点时是当（2）若以l2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是偶函数，则有.,3,2,1,0sin)(1;,3,2,1,0,cos)(2)6(.,2)0()0()(),(cos20010ndxlxnxflbndxlxnxflaxfxfxfxxflxnaallnlnnn此时，否则的连续点时是当(3)设以l2为周期的函数f(x)在R上处处连续并且在任何有限区间上逐段光滑，则上述的每个f(x)的Fourier级数在R上处处绝对且一致收敛于f(x).（五）巴塞瓦尔（Parseval）等式（1）若以l2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是],[ll中的可积且平方可积函数（如连续函数），则由上述等式：个）可以分别得到以下）、（、（Parseval365)4(000.)()(1)(2)4(2221220lxfdxxflbaallnnn.)()(1)5(2221lxfdxxflbllnn.)()(12)6(221220lxfdxxflaallnn(六).)0(],0[aa上函数f(x)的傅里叶级数、正弦级数与余弦级数1.)0(],0[aa上函数f(x)的傅里叶级数：先将f(x)作alT2的周期开拓到整个数轴上，将开拓后的周期函数h(x)展成傅里叶级数，然后将x限制在],0[a上，就得到了],0[a上函数f(x)的傅里叶级数..,3,2,1,sin)(1;,3,2,1,0,cos)(1)4(.,2)0()0()(),()sincos(2010ndxlxnxflbndxlxnxflaxfxfxfxxflxnblxnaallnllnnnn其中，否则的连续点时是当其中，.2al2.)0(],0[aa上函数f(x)的傅里叶正弦级数：先将f(x)作奇开拓到),[aa上，再作alT22的周期开拓到整个数轴上，将开拓后的周期函数h(x)展成傅里叶级数，然后将x限制在],0[a上，就得到了],0[a上函数f(x)的傅里叶正弦级数..,3,2,1,sin)(2;,3,2,1,0,0cos)(1)4(.,2)0()0()(),(sin001ndxaxnxfabndxaxnxfaaxfxfxfxxfaxnbanaannn此时，否则的连续点时是当3.)0(],0[aa上函数f(x)的傅里叶余弦级数：先将f(x)作偶开拓到),[aa上，再作alT22的周期开拓到整个数轴上，将开拓后的周期函数h(x)展成傅里叶级数，然后将x限制在],0[a上，就得到了],0[a上函数f(x)的傅里叶余弦级数..,3,2,1,sin)(1;,3,2,1,0,cos)(1)4(.,2)0()0()(),(cos20010ndxaxnxfabndxaxnxfaaxfxfxfxxfaxnaaaanannn其中，否则的连续点时是当（七）贝塞尔（Bessel）不等式若以l2为周期的函数f(x)在任何有限区间上逐段光滑且是],[ll中的可积且平方可积函数（如连续函数），则有贝塞尔（Bessel）不等式：.)()(1)(22221220lxfdxxflbaallnnn（八）例题.3)12(4cos)12(1)5(;1)4(;1)3(;)12(1)2(;)12(1)1(,2,20,)(10214121412nnnnnnaxaxaaxxxfnnnnn并且求下列级数的和数，展为正弦级数与余弦级当当：将函数：例.,3,2,1,12,)12(4)1(2,02sin4)sin)(sin(2sin)(2sin)(1;,2,1,0,0cos)(1)(),()0,)(.)(12212220200kknkaknnnadxaxnxadxaxnxadxaxnxfadxaxnxhabndxaxnxhaaDirichletRxhxhRRaxfxfkaaaaaanaan当当收敛定理的条件，从而且满足上处处连续在则为上的这个周期的奇函数记上，再将此奇函数开拓到上，使其成为奇函数，到【开拓展成正弦级数，将解于是)1(.0,)12(sin)12()1(4)(1212axaxnnaxfnn..,3,2,10,,024,)12(2])1(12cos2[2)cos)(cos(2cos)(2cos)(11;2))((2)(2)(1;,3,2,1,0sin)(1)(),()0,)(.)(2221222020202000，否则当时当收敛定理的条件，从而满足上处处连续且在则为上的这个周期的偶函数记上，再将此偶函数开拓到上，使其成为偶函数，到【开拓展成余弦级数，将解kknkannadxaxnxadxaxnxadxaxnxfadxaxnxhaanadxxaxdxadxxfadxxhaandxaxnxhabDirichletRxhxhRRaxfxfnaaaaaanaaaaaaaan于是)2(.0,)24(cos)12(124)(022axaxnnaaxfn)3.(8)12(1,)12(14)1()12()1(4212sin)12()1(422)2(,2132121221121212120nnnnnnnnnanannaaaaafax则）式中，取：在（解)4.(96)12(1,)12(1166))((2)(2,)12(116)(1var1441414422222020214421220nnaaaannnaannaadxxadxxadxxfanabdxxhaParse即等式可得：）式与：利用（解)6.(90146)5.(613541402120nnnn）