2015年全国高中数学联合竞赛解答(B卷)

2015年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.已知函数2,[0,3],()log,(3,),axxfxaxx其中a为实数.如果(2)(4)ff，则a的取值范围是.答案：(2,).解：(2)2fa，(4)2fa，所以22aa，解得：2a.2.已知3()yfxx为偶函数，(10)15f．则(10)f的值为．答案：2015．解：由已知得33(10)(10)(10)10ff，即(10)(10)20002015ff．3.某房间的室温T（单位：摄氏度）与时间t（单位：小时）的函数关系是：sincosTatbt，(0,)t，其中,ab是正实数.如果该房间的最大温差为10摄氏度，则ab的最大值是.答案：52.解：由辅助角公式：22sincossin()Tatbtabt，其中满足条件2222sin,cosbaababϕϕ==++.则函数T的值域是2222,abab，室内最大温差为22210ab，得225ab.故22252abab，等号成立当且仅当522ab.4.设正四棱柱1111ABCDABCD的底面ABCD是单位正方形，如果二面角11ABDC的大小是3，则1AA.答案：62.解：取BD的中点O，连接11,,OAOAOC.则11AOC是二面角11ABDC的平面角，因此113AOC.又11OAOC，所以11OAC是等边三角形.故1112AOAC，所以22221126222AAAOAO.5.已知数列{}na是一个等差数列，首项与公差均为正数，且259,,aaa依次成等比数列，则使得121100kaaaa的最小正整数k的值是.答案：34.解：设数列{}na的公差为d，则21aad，514aad，918aad.因为259,,aaa依次成等比数列，所以2295aaa，即2111()(8)(4)adadad.化简上式得到：218add.又0d，所以18ad.由11211(1)(1)210016kkkakdaaakkkaa.解得min34k.6.设k为实数，在平面直角坐标系xOy中有两个点集22(,)|2()Axyxyxy和(,)|30Bxykxyk.若AB是单元集，则k的值是.答案：23.解：点集A是圆周22:(1)(1)2xy，点集B是恒过点(1,3)P的直线:3(1)lykx及下方（包括边界）.作出这两个点集知，当AB是单元集时，直线l是过点P的圆的一条切线.故圆的圆心(1,1)M到直线l的距离等于圆的半径2，故21321kkk.结合图像，应取较小根23k.7.在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆22143yx上的一个动点，点,AB的坐标分别为(1,1),(0,1)，则PAPB最大值为．答案：5．解：取(0,1)F，则,FB分别是椭圆的上、下焦点，由椭圆定义知，4PFPB．OC1B1D1DABCA1ΓOM(1,1)xyP(-1,3)因此，44415PAPBPFPAFA．当P在AF延长线与椭圆的交点3,12时，PAPB最大值为5．8.正2015边形122015AAA内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点,ijAA，1ijOAOA的概率是.答案：6711007.解：因为1ijOAOA，所以222221cos,ijijijijOAOAOAOAOAOAOAOA=.故1ijOAOA的充分必要条件是1cos,2ijOAOA，即向量,ijOAOA的夹角不超过23.对任意给定的向量iOA，满足条件1ijOAOA的向量jOA的取法共有：222134232015种，故1ijOAOA的概率是：20151342671201520141007p.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知数列{}na满足13a，且对任意正整数,mn，均有2mnmnaaamn.（1）求数列{}na的通项公式；（2）如果实数c使得11kiica对所有正整数k都成立，求c的取值范围.解：（1）在2mnmnaaamn中令1m可以得到{}na的递推公式：112(32)nnnaaanan.因此na的通项公式为：1115(21)(1)(32)3(22nnknnaaknn+）.…………………8分（事实上，对这个数列{}na，1133a，并且222()(2)()2()(2)(2)2mnamnmnmnmnmmnnmn2mnaamn，所以(2)nann是数列{}na的通项公式.）（2）注意到：11111(2)22nannnn，所以1111111111311112222124212kknnnannkkkk.…………………12分故1134knna，并且1134knna（k），因此c的取值范围是34c.…………………16分10.（本题满分20分）设1234,,,aaaa是4个有理数，使得311424,2,,,1,328ijaaij.求1234aaaa的值.解：由条件可知，()14ijaaij≤≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，1234,,,aaaa的绝对值互不相等，不妨设1234aaaa，则()14ijaaij≤≤中最小的与次小的两个数分别是12aa及13aa，最大与次大的两个数分别是34aa及24aa，从而必须有121324341,81,3,24,aaaaaaaa…………………10分于是2341112113,,248aaaaaaa.故2231412113{,},242,82aaaaaa，…………15分结合1a，只可能114a.由此易知123411,,4,642aaaa或者123411,,4,642aaaa．经检验知这两组解均满足问题的条件．故1234aaaa94.…………………20分11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆22221(0)xyabab的右焦点为,0Fc，若存在经过点焦F的一条直线l交椭圆于AB、两点，使得OAOB⊥.求该椭圆的离心率cea的取值范围.解：设椭圆的右焦点F的坐标为(,0)c．显然l不是水平直线，设直线l的方程为xkyc，点AB、的坐标分别为1122(,),(,)xyxy.将直线l的方程与椭圆方程联立，消去x得2222222220bkaykbcybca.由韦达定理2122222224122222222,.kbcyybkabcabyybkabka所以121212122212124222222222222224222()()1()211.OAOBxxyykyckycyykyykcyycbkbckkccbkabkakbcacbbka…………………5分因为OAOB⊥等价于0OAOB，故由上式可知，存在满足条件的直线l，等价于存在实数k，使得22222422210kbcacbbka，即2242221acbkbc.①显然存在k满足①等价于2240acb.②…………………15分又222bac，所以②等价于222220acac，两边除以4a得到2222210ccaa，即22210ee.由于1e，解得：51,12e.…………………20分2015年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）参考答案及评分标准说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,10分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数,,abc，有222222()()()1()()()2abcbcacababbcca−+−+−≥−+−+−，并确定等号成立的充分必要条件．解：当,,abc不全相等时，原不等式等价于2222222()2()2()()()()abcbcacababbcca−+−+−≥−+−+−．上式可化简为22222222212222abbccaabcabbcca++−≥−−−，即2222226abbccaabbccaabc+++++≥．①考虑到222222,,,,,0abbccaabbcca≥，故由平均不等式得，622222222222266abbccaabbccaabbccaabbccaabc+++++≥⋅⋅⋅⋅⋅=，②因此原不等式成立．…………………20分下面考虑等号成立的充分必要条件．注意到②中等号成立的充分必要条件是222222abbccaabbcca=====．若0abc≠，则abbcca==，显然abc==，与条件矛盾！若0abc=，则0abbcca===，但,,abc不全为0，不妨设0a≠，则0bc==．类似可得其余两种情况，即,,abc中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立．因此，原不等式等号成立当且仅当,,abc中有两个是0，另一个为正数．…………………40分1二、（本题满分40分）如图，在等腰ABC中，ABAC=，I为其内心，D为ABC内一点，使得,,,IBCD四点共圆．过点C作BD的平行线，与AD的延长线交于点E．求证：2CDBDCE=⋅．证明：连接,BICI．设,,,IBCD四点在圆O上，延长DE交圆O于F，连接,FBFC．因为BDCE∥，所以180DCEBDCBFC∠=°−∠=∠．又由于CDECDFCBF∠=∠=∠，所以BFC∽DCE，从而DCBFCEFC=．①…………………10分再证明,ABAC与圆O相切．事实上，因为1122ABIABCACBICB∠=∠=∠=∠，所以AB与圆O相切．同理AC与圆O相切．…………………20分因此有ABD∽AFB，ACD∽AFC，故BDABACDCBFAFAFCF===，即BFBDFCDC=．②…………………30分结合①、②，得DCBDCEDC=，即2CDBDCE=⋅．…………………40分三、（本题满分50分）证明：存在无穷多个正整数组(,,)(,,2015)abcabc，使