空间向量的标准正交分解与坐标表示(教学设计)

《空间向量的标准正交分解与坐标表示》安徽省濉溪二中闫传家2012年11月28日§3.1《空间向量的标准正交分解与坐标表示》——（教学设计）一、教学目标1、知识与技能：掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求空间向量的投影。2、过程与方法：从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。3、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。二、教学重点和难点重点：空间向量的正交分解与坐标表示。难点：1）空间向量的正交分解与坐标表示；2）空间向量的投影的定义及运算三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：（约需15分钟）（约需15分钟）（约需5分钟）（约需3分钟）空间向量坐标定义空间向量投影的定义标准正交分解的过程空间向量坐标的定义思考探究及例题讲解空间向量投影的定义思考探究及例题讲解向量坐标的意义体会向量数量积的坐标运算例题讲解及巩固练习总结反思—提高认识布置作业—自主探究（约需2分钟）六、教学设计创设情境—感知概念①问题情境我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中，向量的坐标又是怎样定义的？向量的投影又是怎样定义的？②课前练习1.在给定的空间直角坐标系中，,ijk，分别为x轴，y轴，z轴正方向上的把,ijk，叫作２．标准正交分解：若,ijk，是标准正交基，对空间任意向量a，存在三元有序实数（x，y，z），使=axiyjzk叫作a的3.坐标的意义（1）坐标的意义：向量的坐标等于（２）投影的定义：一般地，若0b为b的单位向量，称0cos,abaab为向量a在向量b方向上的一、空间向量标准正交分解的过程在给定的空间直角坐标系中，,ijk，为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，a是空间中的任意向量PACOBDzzxyijka二、空间向量标准正交分解及坐标的定义在给定的空间直角坐标系中，,ijk，为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中的任意向量a，存在唯一一组三元有序实数（x，y，z），使得=axiyjzk我们把=axiyjzk叫作a的标准正交分解，把,ijk，叫作标准正交基（x，y，z）叫作空间向量的坐标.记作(,,)axyz.(,,)axyz叫作向量的坐标表示.在空间直角坐标系中，点p的坐标为（x，y，z），向量的坐标也是（x，y，z）注：当a的起点在坐标原点时，a的终点的坐标为（x，y，z）(,,)axiyjzkaxyz思考探究:向量AB的起点不在坐标原点时，向量AB的坐标还是终点的坐标吗？如果不是，向量AB的坐标又是怎样的？析：设111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，o为坐标原点，则111(,,)OAxyz111xiyjzk，222222(,,)OBxyzxiyjzk，所以ABOBOA222111()()xiyjzkxiyjzk212121()()()xxiyyjzzk即向量AB的坐标为212121(,,)xxyyzz例题讲解：例1.在空间直角坐标系中有长方体1111ABCDABCD2,AB3,BC15.AA(1)写出1C的坐标，给出1AC关于,ijk，的分解式(2)求1BD的坐标解：(1)因为1235ABBCAA，，，所以(2)因为点1(3,0,5),(0,2,0)DB所以1(3,2,5)BDC1DA1OBCy(A)D11(3,2,5)325ACijk练习1：在空间直角坐标系中有长方体1111ABCDABCD2,AB3,BC15.AA(1)写出1B的坐标，给出1AB关于的分解式(2)求1BD的坐标析：(1)1(0,2,5)B1(0,2,5)25ABjk(2)(3,2,5)三、空间向量的坐标意义设axiyjzk，那么ai()xiyjzkixiiyjizki由于2||1iii，而ij，0ij，同理0ki所以aix，同理,ajyakz我们把,,aixajyakz分别称为向量a在x轴，y轴，z轴正方向上的投影。向量的坐标等它在坐标轴正方向上的投影.四、向量投影的定义一般地，若0b为b的单位向量，称0cos,abaab为向量a在向量b方向上的投影.思考探究：向量a在向量b方向上的投影一定是正数吗？析：当夹角为锐角时，投影为正；当夹角为钝角时，投影为负；当夹角为直角时，投影为0故向量a在向量b方向上的投影可正可负可为0C1DA1OBCy(A)D1例题讲解例2.如图，已知单位正方体，求(1)向量在上的投影；(2)向量在上的投影解：(1)向量1CA在CB上的投影为：11||cosCAACB||CB1(2)向量1CA在BC上的投影为：11|cos()CAACB||CB1练习2：如上图，已知单位正方体，求(3)向量1CA在CA上的投影；(4)向量1BC在BD上的投影；解：(1)向量1CA在CA上的投影：11cos2.CAACACA(2)向量1BC在BD上的投影:11112cos22BCCBDBCC1AD1B1A1DCB课时小结：(1)空间向量的坐标表示(2)向量a在向量b方向上的投影布置作业—自主探究一：p34面练习第1,2题二：预习下一节《空间向量基本定理》导学提纲。板书设计教学反思3.1空间向量标准正交分解与坐标表示1、空间向量的坐标例1┈┈┈┈┈┈┈┈2、空间向量的投影例2：┈┈┈┈┈┈┈┈（分析区域）┈┈┈┈┈