8-法截线和大地线2.

法截线与大地线（2）测绘学院一系大地测量教研室《大地测量学基础》（FOUNDATIONOFGEODESY）(L,B,H)--(X,Y,Z)2()cos()cocossins[(1)]sinXLYLNHBNHBNeBZHONSGH0PBPKXYZL2P1PXYZ3PBQPcoscoscossinsinxBLyBLzBYXOxzyLB上节课内容回顾(X,Y,Z)--L,B,H)2222arccosarcsinYXXLYXYLXYarctgLNBYXHeNBZHcos1sin222202221222211111iiiJZtgBeXYaetgBtgBZXYetgBBarctgtgB上节课内容回顾法截面和法截线的概念P2POP1BKA法截面：包含椭球面某点法线的平面法截线：法截面与椭球面的交线大地方位角：椭球面上一点的子午面和法截面之间的夹角，从子午线北方向顺时针量取。范围：0°～360°N上节课内容回顾任意方向法截线曲率半径2221'coscosANReAB22221sin1'cosacacNWVeBeB法截线和大地线NormalSectionLineandGeodesic1、任意方向法截线曲率半径2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径3、子午线弧长和平行圈弧长4、梯形图幅面积5、相对法截线6、大地线7、椭球面三角形的解算2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinMeridian,PrimeVerticalandMeanRadiusofCurvature两个特殊方向的曲率半径：卯酉圈A子午圈K任意方向法截线B任意方向法截线曲率半径RA子午圈曲率半径M卯酉圈曲率半径NP子午:1.指南北。古人以“子”为正北，以“午”为正南。2.指夜半和正午。子时，夜间11点至1点；午时，白昼11点至1点。卯酉:1.指东西。古人以“卯”为正东，以“酉”为正西。2.早晚。卯时，早晨5点至7点；酉时，傍晚5点至7点。1）卯酉圈曲率半径卯酉圈曲率半径恰好等于法线在椭球面和短轴之间的长度2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvatureKPB90acRNWVA2221'coscosANReAB1）卯酉圈曲率半径KPBr具有公共的切线的斜截弧的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘以两截弧所在平面夹角的余弦TO斜截弧：平行圈法截弧：卯酉圈麦尼尔定理cosNxrB0B900B90B211eVW112VeW021aNcecNa2901aNec在极点处卯酉圈变为子午圈，N为极曲率半径cN随纬度的升高而增大，其值介于a和c之间逐渐减小在赤道上，卯酉圈是赤道，此时N为赤道半径说明NW、VBN的变化规律（N是B的增函数）22221sin1'cosacacNWVeBeBKNKNPPac0PON2）子午圈曲率半径：0221cosNMReB2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvature332)1(VcWeaM2221'coscosANReABKPBAPKxyBxy2）子午圈曲率半径－直接推导OySGPPKXYZxQdSdxdBcosxrNBrdSMdB1sindxdBMBB''P23sin1dxaBedBWsindxdSB231aeMW'PsindxMBdB在极点处，M为极曲率半径cM随纬度的升高而增大，其值介于a(1-e2)和c之间逐渐减小在赤道上，M小于赤道半径a说明MW、VB0B900B90B211eVW112VeW2322)1()1(eceaMcMea)1(2ceaM21M的变化规律（M是B的增函数）223333222222(1)(1)1sin1'cosaecaecMWVeBeB'KNKNPP21aec0POM0'K1PSP3）M、N与RA的关系－欧拉定理222222222222'coscossin(1'cos)csos(1'coincoss)ANMNReABMAMeBAMeBAMVNA欧拉（L.Euler）定理：描述曲面上任意一点在任意方位角A的法截线曲率半径与主曲率半径的关系的定理2221'coscosANReAB22cossinAMNRNAMA221sincosAAARNM3）M、N与RA的关系子午圈卯酉圈1432当A=0º（或A=180º）时，RA=M，最小值；当A=90º（或A=270º）时，RA=N，最大值当A由0º趋于90º时，RA逐渐增大由M趋于N变化当A由90º趋于180º时，RA逐渐减小由N趋于M变化RA随A的变化以180º为周期的，对称于M、N变化AM和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半径，在微分几何中称为主曲率半径。4）平均曲率半径：意义：用球面代替椭球面计算的需要2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvature方法：用积分的方法定义：椭球面上一点所有方向法截线曲率半径的算术平均值4）平均曲率半径：根据积分中值定理：由于RA随A变化的对称性，可仅在第一象限积分222021cosNdARA2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvature221NVM22220022cossinAMNRRdAdANAMA1()bayfxdxba平均4）平均曲率半径：2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvature222021cosNdARA222222tantancos1tantantan1AdAddAVAAVAAVV2202tanarctanNANcRMNVVVV椭球面上任意一点的平均曲率半径是该点上主曲率半径的几何平均值5）三种曲率半径的比较NRM关系：2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvature23(1)aeMW3cMV221aeRW2cRVaNWcNVRMNMRN5）三种曲率半径的比较2、子午圈、卯酉圈曲率半径与平均曲率半径RadiusofCurvatureinPrimeVertical，MeridianandMeanRadiusofCurvatureBN（m）R（m）M（m）0º637824563568636335553156379675635971463398163063835886367518635148845638895463782096367491606394315638893663835617563982556369811639536890639969963996996399699426922145442836641460.33％0.67％0.67％1％1）子午线弧长公式dXMdB21BBMdBX2322232sin111BeeaWeaM21322221sin1BBeBdXaeB),(22LBPNO赤道),(11LBPPPdBdXMB3、子午线弧长和平行圈弧长ArcLengthofMeridianandParallelCircle椭圆积分1）子午线弧长公式2311211x12!3!nnnnnnxnxxx3222244662315351sin1sinsinsin2816eBeBeBeBBBBBBBBBB6cos3214cos1632cos3215165sin4cos812cos2183sin2cos2121sin6422462468108108104611025436591638465536220572765204863451751+464256315525+416512151055536220510395409+64256616384eeeeeeeeeeeeeeABCD8108160103153118520481310723153465163846553663935+512+13102+7eeeeeeEF18057.2958603437.7468'60206264.89''0'82221212121211(1)[(sin2sin2)(sin4sin4)24(sin6sin6)]6(sin8sin8)(sin10sin10)810BBXaeBBBBBBBBBBBCADEF1）子午线弧长公式由赤道起算的子午线弧长公式21sin2sin424sinsin8sin1081066BXaeBBBBBBCAEDF3、子午线弧长和平行圈弧长ArcLengthofMeridianandParallelCircle),(22LBPNO赤道),(11LBP)(B,LPX怎么由X求B？sin8B一项不超过0.3mm初始值：迭代公式：迭代收敛条件：迭代收敛解为：21sin2sin424sin6sin8sin106810BBBBBBXaeBCDEFA12B()(1)XaeA单位：弧度ii1i12i1i1i11Bsin2sin4(1)24sin6sin8sin106810XBBaeBBBBCADEF20112,10iiBBε,i,,,J()JB弧度如何计算子午圈周长？1）子午线弧长公式2412QaeA如果按1800年德兰勃椭球(a=6375653m，α＝1:334.0)求得的Q正好就是40,000,000m－米的最初定义。122112mmBXMBBBBBB当X45km，计算精确到0.0001m时，可将子午线视为圆弧，圆弧的半径取为该弧的平均纬度Bm处的子午线曲率半径Mm。3、子午线弧长和平行圈弧长ArcLengthofMeridianandParallelCircle子午圈周长2）平行圈弧长公式由于平行圈是个圆，于是平行圈弧长公式为：cosllSrNB3、子午线弧长和平行圈弧长ArcLengthofMeridianandParallelCircleKP2BrO'OP1SlN2）平行圈弧长公式''''cos''''llSrNB3、子午线弧长和平行圈弧长ArcLengthofMeridianandParallelCirclesinSSBBlMBB21sinmSXLLB21125.729582930'1112103030'lLLBXmB5560.5Sm