4线性问题在管理中的应用

第四章线性规划问题在管理中的应用线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA（dateenvelopmentanalysis）一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同的投入相同的产出。衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值，因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。这种方法就是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析DEA。线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA（dateenvelopmentanalysis）引言1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及W.W.Cooperh和E.Rhodes发表了一篇重要论文：“Measuringtheefficiencyofdecisionmakingunits”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运筹学杂志”上。正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析。其模型简称C2R模型。线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题例子例1：硕士点教育质量评价某系统工程研究所对我国金属热处理专业的26个硕士点的教育质量，进行了有效性评价。评价采用的指标体系为：输入：导师人数；实验设备；图书资料；学生入学情况。输出：科研成果；论文篇数；学生毕业时的情况。使用DEA进行评价，结果基本合理。线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题例子例2：行风（行业作风）建设有效性评价本项目研究人员选定江苏省S市交通客运系统作为对象，包括7家交通客运汽车公司。评价采用的指标基础依据为：1、国际公交组织颁布的“十项基本考核指标”2、国内颁布的公交运营服务的“八项考核指标”。在此基础上，根据该系统实际情况，最终选定了输入指标4项，输出指标4项。分别是：线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题例子输入指标：1、年末职工总熟（单位：人）；2、单位成本（单位：元/千人公里）；3、燃料单位消耗（单位：升/千人公里）；4、行车责任事故率（单位：次/千人公里）。输出指标：1、劳动生产率（单位：元/人）；2、行车准点率（%）；3、群众满意率（按问卷调查）（%）4、车辆服务合格率（包括：服务态度、服务措施、车辆设施等）（%）线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题例子收集到所需数据后，使用DEA方法综合评价，结果为：1)3家公司为行风建设有效；2)4家公司在行风建设上存在不同程度（以量化形式给出）的缺点与不足。线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题举例4所小学S1，S2，S3，S4，在校学生分别为1200，1000，1600，1400人，按800名标准学生的规模折算各个学校的教职工人数和建筑面积的投入，如下表：学校投入S1S2S3S4教职工人数建筑面积/m2251800401500351700202500请您评价：就培养800名学生而言，那些学校的投入产出效率较高，那些较低？线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题举例一连锁餐饮企业拥有遍布全国的20家连锁餐厅，每家餐厅的每周运营时间、员工人数以及每周利润和所占市场份额如下表：餐厅周运营时间全职员工每周利润市场份额增长率%餐厅周运营时间全职员工每周利润市场份额增长率%A96.0016.003800.0025.00K112.0023.005900.0022.00B110.0022.004600.0032.00L104.0019.006300.0020.00C100.0018.004400.0035.00M180.0030.008000.0018.00D125.0025.006500.0030.00N130.0025.006800.0016.00E120.0024.006000.0028.00O128.0023.005800.0021.00F105.0019.005800.0033.00P118.0019.004600.0030.00G115.0020.005000.0027.00Q107.0025.005300.0023.00H109.0018.005200.0018.00R116.0024.006100.0028.00I98.0017.004500.0026.00S127.0019.005730.0020.00J130.0028.006800.0024.00T108.0016.004000.0021.00您对这20家餐厅的运营效率又作何判断？线性规划LinearProgramming（LP）相对有效性评价问题举例教职工人数建筑面积生产前沿线（面）S4S1S3S2M数据包络线线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA问题线性规划数学模型在DEA中一般称被衡量绩效的组织为决策单元（decisionmakingunit——DMU）。设：n个决策单元（j=1，2，…，n）每个决策单元有相同的m项投入（输入）（i=1，2，…，m）每个决策单元有相同的s项产出（输出）（r=1，2，…，s）aij——第j决策单元的第i项投入brj——第j决策单元的第r项产出评价（衡量）第j0决策单元是否DEA有效线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA问题线性规划数学模型决策单元12…n投入项目12…ma11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn12…n决策单元b11b12…b1nb21b22…b2n…………bs1bs2…bsn12…s产出项目线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA问题线性规划数学模型构建模型的思路：衡量某一决策单元j0是否DEA有效——是否处于由包络线组成的生产前沿面上，先构造一个由n个决策单元组成（线性组合成）的假想决策单元。如果该假想单元的各项产出均不低于j0决策单元的各项产出，它的各项投入均低于j0决策单元的各项的各项投入。即有：线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA问题线性规划数学模型∑jbrj≥brj0（r=1，2，…，s）∑jaij≤Eaij0（i=1，2，…，m，E＜1）∑j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn这说明j0决策单元不处于生产前沿面上。线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA问题线性规划数学模型基于上述事实，可以写出如下线性规划的数学模型：minES.t.∑jbrj≥brj0（r=1，2，…，s）∑jaij≤Eaij0（i=1，2，…，m）∑j=1，j≥0（j=1，2，…，n）j=1j=1j=1nnn我们称模型中的j为设计变量，E为效率因子线性规划LinearProgramming（LP）数据包络分析DEA问题线性规划数学模型模型求解结果分析：1)当求解结果有E＜1时，则j0决策单元非DEA有效；2)否则，则j0决策单元DEA有效。线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例例8（Page39）振华银行的4个分理处的投入产出如下表。求各个分理处的运行是否DEA有效。产出单位：处理笔数/月分理处投入产出职员数营业面积（m2）储蓄存取贷款中间业务分理处1分理处2分理处3分理处415202120140130120135180010008009002003504504201600100013001500线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例解：若先确定分理处1的运行是否DEA有效。建立线性规划模型minE18001+10002+8003+9004≥18002001+3502+4503+4204≥20016001+10002+13003+15004≥1600S.t.151+202+213+204≤15E1401+1302+1203+1354≤140E1+2+3+4=1j≥0（j=1，2，3，4）线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例求解结果分析：对分理处1，E=1，说明分理处1的运行DEA有效。对分理处2，E=0.996，说明分理处2的运行非DEA有效。对分理处3，E=1，说明分理处3的运行DEA有效。对分理处4，E=1，说明分理处4的运行DEA有效。线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例DEA应用中的“窗口”技术——空军基地的效率评价（美国）美国空军军方曾对7个空军基地的效率进行了评价，使用的方法为DEA。输入指标选定3项，输出指标选定4项（内容未报道）。评价的时间范围为1992年10月1日至1993年12月31日。尽管具体内容及结果未予公布，但有一项技术——“窗口技术”却很有参考价值，介绍如下：线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例DEA应用中的“窗口”技术——空军基地的效率评价（美国）一般来说，在对决策单元集进行DEA评价时，对单元的个数n，输入指标个数m，以及输出指标个数s应有一定的要求。经验表明它们大体上应满足或接近n≥2ms在本例中，空军基地有7个，分别记为A、B、C、D、E、F、G。即n=7；而输入指标有3项，即m=3；输出指标有4项，即s=4。显然，决策单元数过少了。线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例DEA应用中的“窗口”技术——空军基地的效率评价（美国）实施此项评价的美国学者采取了“分割——连接——滑动”的处理办法。将评价的时间段变小，将1992.10.1～1993.12.31，按季度分割为5个季度，将“每个基地——每个季度”作为决策单元，这样就得到了35个决策单元。但在每项评价时，只使用相邻的3个季度，即n=21，接近2ms=2×3×4=24，将它们构成一个“窗口”。评价结束后，将“窗口”向下一季度递推，进行第二轮DEA评价。如此进行，共作三轮，获得了良好的结果。线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例DEA应用中的“窗口”技术——空军基地的效率评价（美国）季度1季度2季度3季度4季度5ABCDEFGA1A2A3A4A5B1B2B3B4B5………………………………………F1F2F3F4F5G1G2G3G4G5线性规划LinearProgramming（LP）DEA分析应用举例DEA应用中的“窗口”技术——空军基地的效率评价（美国）窗口技术有许多优点，主要为：1)适用于决策单元个数n较小的情况。2)可以获得各个决策单元关于效率的稳定性。以及变化趋势、季节行为等方面的有价值的辅助信息。3)提供了纵向评价（沿时间轴评价）的一种思路。线性规划LinearProgramming（LP）线性规划其他应用例子我们应该牢记：“应用线性规划解决经济，管理领域的实际问题时，最重要的一步是建立全面、准确地反映实际问题的线性规划模型”，这是一项技巧性很强的创造性工作，既要求对所研究的问题有深入了解，又要求很好掌握线性规划模型的结构特点，并具有对实际问题进行数学描述的较强能力。因此，在研究建立一些较复杂问题的数学模型时，需要各个方面的专业人员的通力协作配合。线性规划LinearProgramming（LP）线性规划其他应用例子一般情况下，一个经济、管理问题要满足下列条件，才能归结为线性规划的模型：1)要求解的问题的目标能用某种效益指标度量大小，并能用线性函数描述目标的要求；2)为了达到这个目标存在多种方案；3)要达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些条件可以用一组线性