5-6定积分在几何学上的应用

章节名称5-6定积分在几何学上的应用授课方式讲授法授课时数4授课方法和手段启发法和师生互动法教学目的及要求教学目的；掌握用元素法计算平面图形的面积、计算体积、计算平面曲线的弧长、计算平面曲线的弧长。教学要求；.理解用元素法计算平面图形意义；熟记平面图形面积的计算公式教学基本内容纲要教学重点难点：教学重点直角坐标系下参数方程极坐标系下求弧长的公式教学难点：参数方程极坐标系下求弧长的公式教学过程设计一、定积分的元素法1、能用定积分计算的量U，应满足下列三个条件(1)、U与变量x的变化区间],[ba有关；(2)、U对于区间],[ba具有可加性；(3)、U部分量iU可近似地表示成iIxf)(。2、写出计算U的定积分表达式步骤(1)、根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；(2)、设想将区间],[ba分成若干小区间，取其中的任一小区间],[dxxx，求出它所对应的部分量U的近似值dxxfU)(()(xf为],[ba上一连续函数)则称dxxf)(为量的元素，且记作dxxfdU)(。=(3)、以U的元素dU作被积表达式，以],[ba为积分区间，得dxxfUba这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素du的微分表达式)()(bxadxxfdU因此，也称此法为微元法。二、平面图形面积的计算1．直角坐标的情形由曲线)0)(()(xfxfy及直线ax与bx(ab)与x轴所围成的曲边梯形面积A。badxxfA)(其中：dxxf)(为面积元素。3教学过程设计)(xfy与)(xgy及直线ax，bx(ba)线且fxgx()()所围成的图形面积A。bababadxxgxfdxxgdxxfA])()([)()(其中：[()()]fxgxdx为面积元素。例1计算抛物线yx22与直线yx4所围成的图形面积。解：1、先画所围的图形简图解方程yxyx224,得交点：(,)22和(,)84。2、选择积分变量并定区间选取x为积分变量，则08x3、给出面积元素在20x上，2222dAxxdxxdx在82x上，2442dAxxdxxxdx4、列定积分表达式2802283322202224242221418332Axdxxxdxxxxx2极坐标情形设平面图形是由曲线r()及射线，所围成的曲边扇形。取极角为积分变量，则,在平面图形中任意截取一典型的面积元素A，它是极角变化区间为[,]d的窄曲边扇形。A的面积可近似地用半径为r()，中心角为d的窄圆边扇形的面积来代替，即Ad122[()]从而得到了曲边梯形的面积元素dAd122[()]4教学过程设计从而Ad122()例2计算心脏线raa(cos)()10所围成的图形面积。由于心脏线关于极轴对称，22204220422022022232!!4!)!14(8cos82cos42cos2)cos1(212aatdtadadadaAt令2．平行截面面积为已知的立体的体积(截面法)由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。取定轴为x轴，且设该立体在过点xa，xb且垂直于x轴的两个平面之内，以Ax()表示过点x且垂直于x轴的截面面积。取x为积分变量，它的变化区间为[,]ab。立体中相应于[,]ab上任一小区间[,]xxdx的一薄片的体积近似于底面积为Ax()，高为dx的扁圆柱体的体积。即：体积元素为dVAxdx()于是，该立体的体积为VAxdxab()三、平面曲线的弧长1．直角坐标情形设函数fx()在区间[,]ab上具有一阶连续的导数，计算曲线yfx()的长度s。5教学过程设计1．直角坐标情形设函数fx()在区间[,]ab上具有一阶连续的导数，计算曲线yfx()的长度s。取x为积分变量，则xab[,],在[,]ab上任取一小区间[,]xxdx，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度s可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧长元素为dxxfds2)(1.弧长badxxfs2)(1例3计算曲线)(3223bxaxy的弧长。解：dsxdxxdx112()])1()1[(32)1(321232323abxdxxsbaba2．参数方程的情形若曲线由参数方程)()()(ttytx给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成dtttdydxds2222)()()()(的形式，从而有dttts22)()(例4计算半径为r的圆周长度。解：圆的参数方程为xrtyrttcossin()02dsrtrtdtrdt(sin)(cos)22srdtr0223．极坐标情形若曲线由极坐标方程rr()()给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。6教学过程设计若曲线由极坐标方程rr()()给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。曲线的参数方程为xryr()cos()sin()此时变成了参数，且弧长元素为drrdrrdrrdydxds22222222)()cossin()()sincos()()(从而有drrs22例5计算心脏线)20()cos1(ar的弧长。解：daads222)sin()cos1(da]2cos2sin2[cos42242da2cos22200022cos4cos4[coscos]28sadadadda作业讨论辅导P-193第一题第六题参考资料课后小结求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积、旋转体体积平行截面已知的立体的体积平面曲线弧长的概念，弧微分的概念直角坐标系下参数方程极坐标系下求弧长的公式