5.5随机变量函数的分布

5.5随机变量函数的分布一、背景介绍前面从理论上讨论分析了随机变量的分布规律，然而对许多实际问题，随机变量的分布并不容易求得；另一方面，有一些实际问题往往并不直接对分布感兴趣，而只感兴趣分布的少数几个特征指标，例如分布的中心位置，散布程度等等。引例，要比较两个冰箱厂生产的冰箱质量，一方面要比较它们的平均使用寿命，平均寿命越长质量越好；另一方面还要比较两个厂产品寿命相对于平均寿命离散程度的大小，离散程度大的质量不稳定，离散程度小的质量比较稳定，比较可靠。可见，产品的重要质量指标，平均寿命及质量的稳定性均表现为具有一定特征的参数或数字。知道了这类特征参数或数字，就能对随机变量分布的统计规律一目了然。这类能够直观反映出随机变量分布特征的数字就称为数字特征，包括数学期望和方差。二、随机变量的数学期望及其性质定义1设离散型随机变量的分布列为，则和式称为X的数学期望。记为若X取值为可列个，无穷级数绝对收敛，则称该无穷级数之和为X的数学期望，记为注意：假如上述无穷级数不绝对收敛，则称该随机变量X的数学期望不存在。定义2设连续型随机变量X的密度函数为，若广义积分绝对收敛，则称该积分为连续型随机变量X的数学期望，记为注意：当上述广义积分不绝对收敛时，称X的数学期望不存在。数学期望亦称为期望或均值，由于完全由随机变量的概率分布所确定，所以也称为分布的数学期望。下面给出随机变量函数的期望计算公式：定理设随机变量X的函数Y=f(x)，则有例1甲、乙两个工人生产同一种产品，若一天中他们生产的废品数分别为随机变量X与Y，且已知X与的概率分布分别为X0123Y0123Pk0.40.30.20.1Pk0.30.50.20设这两人的日产量相同，问哪位工人的生产技术更要好些？解：仅从概率分布看，不好直接对哪位工人的生产技术更好一些作业评论，但由数学期望的概念，我们可以通过比较E（X），E（Y）的大小来对工人的生产技术作业评判，依题意可得由于，故由此判定工人乙的技术更好一些。显然，一天中乙生产的废品数平均比甲少。例2某公司生产的机器其无故障工作时间X有密度函数（单位：万小时）公司每售出一台机器可获利1600元，若机器售出后使用1.2万小时之内出故障，则应予以更换，这时每台亏损1200元；若在1.2到2万小时之间出故障，则予以维修，由公司负担维修费400元；在使用2万小时以后出故障，则用户自己负责。求该公司售出每台机器的平均获利。解：设Y表示售出一台机器的获利。则Y是X的函数，即于是=1000即该公司售出每台机器平均获利1000元。下面给出随机变量数学期望的性质性质1E（C）=C（C为常数）证明：只需将X看成为是以概率1?取常数C的随机变量即可：因为随机变量，其分布列为，由期望的定义，有：。性质2E（CX）=CX（C为常数）证明：以连续型随机变量为例，设X的密度函数为，由连续型随机变量期望的定义性质3（b为常数）证明：设连续型随机变量X的密度函数为，则性质4（a，b为常数）由性质2，性质3，不难推出性质4成立。性质5设有两个任意的随机变量X，Y，它们的期望存在，则有。性质5可以推广到n个随机变量。推论1设有n个任意的随机变量，它们的期望，存在，则有即n个随机变量和的期望等于各百期望之和。推论2设有n个任意的随机变量，它们的期望存在，则有即随机变量的算术平均值的期望等于随机变量的期望的算术平均。这在后面数理统计中常要用到。性质6设是相互独立的两个随机变量，且各自的期望均存在，则有即两个相互独立的随机变量乘积的期望等政协委员自期望的乘积。推论设n个随机变量相互独立，且各自的数学期望存在，则有注意：性质5与性质6条件上的差别。对“求和”，不要求随机变量相互独立，对于“求积”，则要求随机变量相互独立。这是因为证明“积”的性质时，用到随机变量相互概念，否则，不一定成立。适当应用这些性质，可以简化期望的计算。例3设某仪器总长度X为两个部件长度之和，即X=X1+X2，且已知它们的分布列分别为X91011X267Pk0.30.50.2Pk0.40.6求：（1）解：因为EX1=9×0.3+10×0.5+11×0.2=9.9EX2=6×0.4+7×0.6=6.6所以，（1）E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)=9.9+6.6=16.5（2）E(X1X2)=E(X1)E(X2)=9.9+6.6=65.34（3）E（X22）=62×0.4+72×0.6=43.8注意：，这是因为与其自身不满足相互独立的条件。三、随机变量的方差及其性质在介绍方差的概念之前，我们先来看一个例题。例4甲、乙两人同时在医院由同一名医生检查血压，一周内七天检查的结果分别记为X1，X2，且有如下分布列：X1120120120120120120120PkX2606060120180180180Pk试比较甲、乙两人的健康状况是否一样好？为什么？解：简单的计算可知，两人血压的期望值均为尽管，但并不能说明两人的健康状况一样好。因为，简单比较两张分布列表可见，甲的血压维持在正常数值（即期望血压）上，健康状况良好；而乙的血压明显地不稳定，时而很高，时而很低，极不正常，说明健康状况极差。这个例子说明，在实际问题中，仅仅考虑期望值还不能完善地描述随机变量的分布规律，客观上还有另一个因素对分布规律起到重要影响，这就是随机变量取值对于其期望的离散程度。于是就引出了方差的概念。定义3设有随机变量X，其数学期望为E（X），如果存，则称它为随机变量X的方差，记为或，而称或为随机变量X的标准差或方差根，即同时，对于离散型随机变量和连续型随机变量，可按随机变量函数的数学期望公式分别给出这两类随机变量的方差为，X为离散型随机变量。，X为连续型随机变量。把方差的定义与期望的定义比较可知，所谓方差，乃是一个新随机变量的期望，只不过是原来随机变量X的函数的期望。由于是一个常数，也是一个常数，不过由于是的期望，它恒取非负值，即。依期望的性质，有即这是一个能使方差的计算更加方便的常用公式，应给以足够地重视。例5求前例4中甲、乙两人一周内血压（测量值）的方差。解：例4中已算出两人血压的期望分别为，代入离散型随机变量方差的定义式分别得到可见，甲的血压方差为0，相当稳定，健康状况极好；而乙的血压方差极大，极不稳定，健康状况也极差。例6已知随机变量X的密度函数为求：解：因为X是连续型随机变量，故可得所以，有下面给出随机变量方差的性质性质1（C为常数）证明：由定义，注意：由这条性质反过来可以想到下面的结论成立，即若，则。也就是说，只要随机变量X的方差为0，就表明X相对于的波动幅度为0，故X的所有取值必定恒为，即以概率1取值。性质2（b为常数）。证明：由定义，性质3（C为常数）证明：由定义，注意：这条性质与期望性质的差别：常数自由出入期望符号，但不能自由出入方差符号，必须平方后才能移出符号“D”，开方后才能移入符号“D”。性质4这条性质不难由性质2、性质3综合归纳得到。性质5设有X，Y相互独立，且它们的均方差都存在，则有注意：这条性质必须在X，Y相互独立的条件下才能成立，故在使用该性质时，必须满足相互独立的条件。推论1设随机变量相互独立，且均存在，则有即n个相互独立的随机变量，它们取算术平均以后的方差等于它们各自方差算术平均的，这条性质在后面的数理统计中也要用到。适当使用这些性质将大大简化某些方差的计算。例7求前面例3中仪器的两部件长度差的方差。解：由例3，已解得，，于是有由于两部件长度是相互独立的，故相互独立，于是有例8设随机变量X的数学期望为，方差为。求：的数学期望与方差。解：由数学期望和方差的性质可知四、常见分布的期望与方差1、离散型随机变量1）两点分布设，分布列为X01PkqP则有即2）二项分布设X~B(n,p)，分布列为则有，证明：由于二项分布是n个两点分布的和分布，即，其中所以又由于组成二项分布的n个两点分布是相互独立的，于是由性质5得3）泊松分布（poisson）设，X的分布列为则有，（推导略）从而可知：服从泊松分布的随机变量的分布列由它的数学期望（方差）唯一确定。2、连续型随机变量1）均匀分布设X~U[a,b]，密度函数为则有证明：因为于是有2)指数分布设，密度函数为则有类似有所以即，3）正态分布设，密度函数为则有令，即，，于是类似地，可以导出事实上，由同样，即，，代入即得。可见，对于服从正态分布的随机变量X，恒有，。即服从正态分布的随机变量的密度函数由它的数学期望与方差所唯一确定。例9设，，，求n与p解：依题意以及期望与方差的知识，有①②将①式代入②即有12q=8，解得，所以有，再代入（1）式有n=36。例10设，求解：因为，，所以有