8第八章线性动态电路的时域分析.

第八章线性动态电路的时域分析——电路的过渡过程引入电路的过渡过程中的各电流、电压处于稳定前的过渡状态——动态电路，分析计算线性动态电路全响应(即电路的各电流、电压)的依据是：基尔霍夫定律KCL、KVL和R、L、C伏安关系。线性动态电路的方程是常系数线性微分方程，微分方程的阶数为一的动态电路称为一阶电路，微分方程的阶数为二的动态电路称为二阶电路。动态电路全响应的分析计算，归结为求解微分方程。直接求解微分方程的方法称为经典法，用积分变换求解微分方程的方法称为运算法。第一节电路的暂态过程电路工作过程的分析开关s闭合时，电阻支路灯泡即亮，亮度始终不变。电感支路灯泡在开关闭合瞬间不亮，逐渐变亮，最后亮度稳定不再变化。电容支路的灯泡在开关闭合瞬间很亮，然后逐渐变暗直至熄灭。电路中t0时的各元件电压、电流，属于动态电路的时域分析问题。概念——暂态一般说来，含有动态元件(即储能元件C、L)的电路，当电路的电源、结构、元件参数突然发生变化时，电路从一种稳定状态变化到另一种稳定状态的中间过程叫做电路的过渡过程。实际电路中的过渡过程占用时间大多是短暂的，故称为电路的暂态过程，简称暂态。L、C元件是造成电路动态的根源。电路的三种状态值电路的暂态过程是发生在换路期间的。电路中电源的接入与切除、支路的接通和切断、元件参数的改变等统称为换路。在分析电路时，可认为换路是立即完成的。计算动态电路的全响应，一般都把换路的瞬间作为计时起点，记为t=0，换路前的最后一瞬间记为t=0-,换路后的最初一瞬间记为t=0+。t=0时开关动作(换路)1.t=0-时开关未动作，表示电路原状态的终点，电流电压值称原电路的终点值-原始值。2.t=0+时开关已动作，电路暂态的开始。电流、电压值称电路的初始值。3.t=∞时(理论上)表示电路达到新的稳定状态，t=∞时的电流、电压值称电路的稳态值。RC动态电路设开关S闭合后的电流i与电容电压uc的参考方向如图则由KVL得Uc+Ri=Us。第二节换路定则与电路的初始值要点：换路定则、电路初始值的计算换路定则电容元件电感元件dtducccidtdiLuLL电容电压(电荷)不能跃变，而只能连续地变化，否则，电流ic将为无限大，这在实际电路中是不可能的。电感电流(磁链)也不能跃变，而只能连续地变化，否则，电压uL将为无限大，这在实际电路中也是不可能的。上述结论称为换路定则。换路定则：电容上的电压uC及电感中的电流iL在换路前后瞬间的值是相等的实质：能量不能跃变uc、iL的变化连续不能跃变，其他ic、uL、iR、uR可以跃变。理想电压源的电压不受外部条件的影响，理想电流源的电流不受外部条件的影响，它们都不能因换路而跃变。但理想电压源的电流、理想电流源的电压，却是可能跃变的。换路定则的数学表达式：)0()0()0()0(LLCCiiuu电路初始值的计算电路中各元件的电压与各支路电流在t=0+时的值，是电路的初始值，是电路微分方程的初始条件。电路的初始值给出了电路的待求响应及其所需的各阶导数在换路后的最初一瞬间(t=0+时)的值。独立初始值，换路定则可求。其余各初始值应需根据独立初始值和KVL、KCL和VAR确定，称为相关初始值。替代定理电路在t=0+时的初始等效电路。电容元件用电压为理想电压源等效替代电感元件用电流为理想电流源等效替代初始等效电路是电阻电路，按电阻电路进行计算)0(cu)0(Li)0(cu)0(Li例题解析一例题解析二例题解析三例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，US=10V，R1=10Ω，R2=5Ω，求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：由于在直流稳态电路中，电容C相当于开路，因此t=0-时电容两端电压分别为：+US－C+uC－St=0i1R1R2iCi2+US－i1(0+)R1R2iC(0+)i2(0+)+uC(0+)－V10)0(SCUu在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：V10)0()0(CCuu由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：A0101010)0()0(1CS1RuUiA2510)0()0(2C2RuiA220)0()0()0(21Ciii例：图示电路原处于稳态，t=0时开关S闭合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。解：由于在直流稳态电路中，电感L相当于短路、电容C相当于开路，因此t=0-时电感支路电流和电容两端电压分别为：4ΩR1R22Ω+u－+CuC－+Us12V－LiL+uL－R36Ωi1iCV2.762.1)0()0()0(A2.16412)0(3L31C31LRiRiuRRUis在开关S闭合后瞬间，根据换路定理有：V2.7)0()0(A2.1)0()0(CCLLuuii由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等效电路，如图所示。由图得：4ΩR1R22Ω+Us12V－R36ΩiL(0+)+uL(0+)－+u(0+)－+uC(0+)－i1(0+)iC(0+)A02.12.1)0()0()0(A2.162.7)0()0(1LC31iiiRuiCu(0+)可用节点电压法由t=0+时的电路求出，为：V4.221412.141211)0()0(21L1RRiRUus零输入响应和零状态响应一阶电路响应的分解根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即：全响应=稳态分量+暂态分量根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时，由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。一阶动态电路的分析方法任何一个复杂的一阶电路，总可以用戴维南定理或诺顿定理将其等效为一个简单的RC电路或RL电路。R3+U－iC+uC－CR1R2+US－iC+uC－CR0ISiC+uC－CR0因此，对一阶电路的分析，实际上可归结为对简单的RC电路和RL电路的求解。一阶动态电路的分析方法有经典法和三要素法两种。1．RC电路分析图示电路，t=0时开关S闭合。电容在开关s接通前已被充电。根据KVL，得回路电压方程为：从而得微分方程：而:第三节一阶电路的零输入响应tuRCRiutuCiddddCCRCC引入时间常数R*C=R(Q/U)=R(It/U)=Ut/U=t电路的时间常数决定了放电的快慢:时间常数越大，放电持续时间越长。选择不同的RC值可以控制放电的快慢。当C值一定时，减小放电电阻可以缩短放电时间，但会增大放电的起始电流值。2．RL电路分析图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：因为：LRLLddRiutiLu从而得微分方程：解之得：引入时间常数eftf)0()(τt)0()(eftf)0(e)0()(tftftτ零输入响应通式第四节一阶电路的零状态响应1．一阶RC电路在直流激励下的零状态响应C1R+US－iCS2+uC－零状态响应：动态电路在所有动态元件的初始储能为零的情况下，仅由激励引起的响应称为零状态响应。2．一阶RL电路在直流激励下的零状态响应1R+US－iLS2+uL－L)0(e-1)()(tftft）（τ零状态响应通式一阶电路响应的分解根据电路的工作状态，全响应可分解为稳态分量和暂态分量，即：全响应=稳态分量+暂态分量根据激励与响应的因果关系，全响应可分解为零输入响应和零状态响应，即：全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应是输入为零时，由初始状态产生的响应，仅与初始状态有关，而与激励无关。零状态响应是初始状态为零时，由激励产生的响应，仅与激励有关，而与初始状态无关。第五节一阶电路的全响应及三要素法全响应：当动态电路的初始条件不为零(称为非零初始条件)、同时又有激励作用时，电路的响应就是全响应。全响应及其分解全响应的两种分解方式一、全响应分解为零输入响应和零状态响应的叠加。全响应=零输入响应+零状态响应二、全响应分解为自由分量和强制分量的叠加。例题解析一方法一：全响应分解为零输入响应与零状态响应的叠加。例题解析二一阶电路的三要素法按全响应分解为自由分量与强制分量叠加时，若电路的激励为常量，并且在激励的作用下电路能进入稳定状态一阶电路的三要素——初始值f(0+)、稳态值f(∞)和时间常数τ，称为一阶电路的三要素按下式求解电路响应的方法称为一阶电路的三要素法。三要素的确定三要素分析法求解一阶电路任一支路电流或电压的三要素公式为：teffftf)]()0([)()(式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。对于RC电路，时间常数为：RC对于RL电路，时间常数为：RL例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的uC。解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电容C可看作开路，因此：V20010201010)0()0(331SCCRIuuIS+uC－CR1SR2（2）求稳态值。当t=∞时，电容C同样可看作开路，因此：V40520105201010)(332121SCRRRRIu（3）求时间常数τ。将电容支路断开，恒流源开路，得：k45205202121RRRRR时间常数为：s4.01010010463RC（4）求uC。利用三要素公式，得：V1604040200405.24.0Ctteeu例：图示电路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用三要素法求开关闭合后的iL和u2。解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，故在瞬间电感L可看作短路，因此：（2）求稳态值。当t=∞时，电感L同样可看作短路，因此：A1369)0()0(21S1LLRRUiiA236)(2S2LRUi+US1－iL+u2－LSR2R1+US2－V313)0()0(L22iRuV623)()(L22iRu（3）求时间常数τ。将电感支路断开，恒压源短路，得：时间常数为：（4）求iL和u2。利用三要素公式，得：32RRs31RLA221233LtteeiV36636332tteeu将一阶RC电路中电容电压uC随时间变化的规律改写为：)1(S0CRCtRCteUeUu零输入响应零状态响应将一阶RL电路中电感电流iL随时间变化的规律改写为：)1(S0LtLRtLReRUeIi零输入响应零状态响应例：图示电路有两个开关S1和S2，t0时S1闭合，S2打开，电路处于稳态。t=0时S1打开，S2闭合。已知IS=2.5A，US=12V，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，C=1F。求换路后的电容电压uC，并指出其稳态分量、暂态分量、零输入响应、零状态响应，画出波形图。解：（1）全响应=稳态分量+暂态分量ISS1C+uC－R3+US－R1R2S2稳态分量V412633)(322CCSURRRuu初始值V332325.2)0()0(2121SCCRRRRIuu时间常数s2163633232CRRRRRC暂态分量V43)()0(5.02CCCttteeeuuu全响应V45.0CCCteuuu（2）全响应=零输入响应+零状态响应零输入响应V33)0(5.02CCttteee