A201523010037_龚瑞_刘胜_吴聪

1太阳影子定位摘要本文主要研究物体太阳影子变化的规律，确定物体所在的地点和日期的问题。通过建立影子长度计算模型、一元非线性方程模型和多元非线性方程组模型，利用题目给出的数据和信息，采用递推方法、循环穷举法和牛顿迭代法，在MATLAB环境下，求解推断出物体所在的地理位置和拍摄日期。针对问题一：根据影子长度与太阳高度、直杆高度的关系，太阳高度与太阳赤纬、纬度、时角的关系，太阳赤纬与日期的关系，时角与北京时间、经度的关系，建立影子长度计算模型，通过公式层层递推，得到影子长度与直杆高度、纬度、经度、北京时间、日期之间的关系式。采用控制变量法，得出影子长度与各参数的变化规律，最后使用MATLAB计算并绘制9:00-15:00之间影子长度的变化曲线。针对问题二：将附表1中XY、坐标值经过勾股定理变换后得到影子长度，从而消除坐标轴方向不确定的影响，针对所找地点分别建立两个模型：第一模型采用最小二乘法拟合了影子长度关于北京时间的二次函数模型，通过最低点的时间计算出经度值，再利用问题一中影子长度的表达式，结合影子长度数据消去直杆长度，建立仅有纬度的一元非线性方程模型，利用MATLAB计算出可能的地点：湖南省邵阳市27.35,111.00NE；第二模型根据问题一中影子长度的表达式，将纬度、经度、直杆高度作为未知量建立多元超定非线性方程组模型，采用循环穷举法，利用MATLAB计算出若干个地点，按照方差小的标准，最后得到可能地点（地点不能在海上）：海南省18.67109.21NE，。针对问题三：在纬度、经度、直杆高度基础上增加时间间隔未知量，根据问题一的影子长度表达式，建立四元超定非线性方程组模型，采用牛顿迭代法，利用MATLAB计算出可能出现的地点和日期：附件2：新疆80.2740.24EN，，日期5月20日，直杆高度2.01米；附件3：内蒙古107.4140.63EN，，日期9月21日，直杆高度4.16米。针对问题四：利用MATLAB读取视频，按照3分钟提取一帧图像，通过Photoshop软件，对所有图片的对比度进行改善，然后再利用MATLAB对图片进行灰度处理和图像二值化，使用程序测量图片上直杆高度和影子长度，通过直杆实际高度、图片上直杆高度与影子长度的比例，计算出实际影子长度。最后根据问题二中的第二个模型，利用MATLAB计算出可能出现的地点：呼和浩特112.2840.89NE，。针对问题五：同理按照问题三的模型四,利用MATLAB计算出可能出现的地点和日期分别为：呼和浩特112.4140.93NE，,日期6月18日。最后，归纳出模型的优缺点，并推广做成手机软件，可以增加手机的防盗功能，也有助于寻找走失的老人和小孩，同时也可以替代手机地图进行影子导航。关键词：影子定位多元非线性超定方程组循环穷举法牛顿迭代法MATLAB2一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。问题一：建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。问题二：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将所建模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。问题三：根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将所建模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。问题四：附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用所建模型给出若干个可能的拍摄地点。问题五：如果拍摄日期未知，能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二、问题分析根据物体在太阳光下影子变化的规律，结合日期时间和经纬度，我们从以下几个方面对问题进行分析和讨论：对于问题一：物体影子长度与物体高度和太阳高度呈余切关系，太阳高度是指太阳相对于地平面的角距离[1]。而太阳高度与太阳赤纬、观测地地理纬度和时角有直接联系，太阳赤纬与日期有直接联系，时角与北京时间和观测地地理经度有直接联系。所以，影子长度与观测地地理纬度、观测地地理经度、日期、北京时间和直杆高度有关系。因此，我们需要推导出太阳高度、太阳赤纬和时角的关系式，得到影子长度与各因素之间的关系式，我们再采用控制变量法分析每个因素对影子长度变化的影响。最后画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高直杆的太阳影子长度的曲线。对于问题二：我们可以求出经纬度来寻找可能出现的地点。附件1中是北京时间和对应影子长度的XY、坐标值数据。由于不知道坐标轴的方向，将XY、坐标值经过勾股定理变换后得到不同北京时间的影子长度，然后在第一问的模型上进行改进，其中日期间隔已知，得到影子长度与直杆高度、观测地地理纬度和观3测地地理经度的多元非线性方程，再通过MATLAB进行初始值迭代求解可能地点经度纬度，最后通过地图筛选地点。对于问题三：附件2和附件3中与附件1的区别是没有测量日期，所以和问题二的模型基本相同，只是多了一个未知量日期间隔，由于未知量增加，最后可以采用牛顿迭代法进行求解。对于问题四：附录4是一段视频，我们能从视频中看出直杆影子长度在随时间变化，视频中已经给出拍摄日期。我们首先用MATLAB读取视频，由于附件1中时间间隔是3分钟，所以我们按照3分钟提取一帧图像，一共得到15张图片。由于特征不明显，程序无法直接对影子进行识别，所以，我们可以通过Photoshop对所有图片的对比度进行改善，然后利用MATLAB对图片进行灰度处理和图像二值化，再使用函数测量图片上直杆高度和影子长度，接着通过直杆实际高度和图片上直杆高度和影子长度的比例算出实际影子长度。最后按照问题二中模型和解法计算可能出现的拍摄地点。对于问题五：如果拍摄日期未知，我们则可以按照问题三中模型和解法计算可能出现的拍摄地点。三、模型假设1、假设题目给定数据真实可靠。2、假设地球自转一周时间为24小时。3、假设地球公转一周时间为365天。4、假设太阳光为平行光，不考虑大气折射。5、假设不考虑真太阳时差，即真太阳时等于平太阳时。6、假设视频中影子转向角忽略不计。四、符号说明符号说明单位L影子长度米H直杆高度米太阳高度度观测地地理纬度度观测地地理经度度太阳赤纬度时角度运行的黄经度度n该日期与春分日的间隔天数天t北京时间分钟't测量地测量时间分钟t测量地测量时间与北京时间的时差分钟五、模型建立与求解45.1问题一求解影子长度与直杆高度和太阳高度有直接联系，而太阳高度与太阳赤纬、观测地地理纬度和时角有直接联系，太阳赤纬与日期有直接联系，时角与北京时间和观测地地理经度有直接联系。所以，影子长度与观测地地理纬度、观测地地理经度、日期、北京时间和直杆高度有关系。因此，我们需要推导出太阳高度、太阳赤纬和时角的关系式，最终得到影子长度与各因素之间的关系式。5.1.1模型一建立1.太阳高度太阳高度是指太阳相对于地平面的角距离，即图1中角。直杆LHα图1太阳高度角示意图在天文学中，太阳高度随着地方时和太阳赤纬的变化而变化，可以从天体的定位三角形中求得，在某一瞬间的太阳高度为[2]：sinsinsincoscoscos(1)其中，表示太阳高度，表示观测地地理纬度，表示太阳赤纬，表示时角（地方时）。2.太阳赤纬利用黄经推导太阳赤纬。如图2，O为地球，S为太阳，为太阳赤纬，SOC；是黄经度（太阳在黄道上由春分点B自西向东运行到点S所转过的角度，即SOC）；OB是黄道平面和天赤道平面的交线（棱），ODASOS、、在黄道面内，ODOB，ASOB；OEACOC、、分别是ODASOS、、在天赤道面的射影，它们的垂足分别是ECC、、；DOE是黄赤交脚（二面角的平面角），2326'21''DOESAC[3]。DOESCABδλ黄道天赤道23°26'21图2黄道平面和天赤道平面5在RtSAO中：ASOSsin(2)在RtOCS中：SCOSsin(3)在RtACS中：2326'21''2326'21''SCASsinOSsinsin(4)由式（3）和（4）可以得到：2326'21''OSsinOSsinsin(5)化简得到太阳直射点纬度表达式：0.397775arcsinsin(6)其中，表示黄经度，表示太阳赤纬。利用日期推导太阳赤纬，地球公转的周期是一个回归年（365.2422日），现行公历的历年是历日的整数倍，它和回归年并不精确相等；另外,复杂的历史演变过程，以及一些人为原因，上半年和下半年、冬半年和夏半年以各季、各月之间的天数也并不完全相同，因而日期和黄经并不完全相对应。因此，用日期取代黄经来推算太阳赤纬时，需按季节分段时进行计算，以确保推算的相对精确[3]。夏半年：从春分日（3月21日）到秋分日（9月23日）总计186天，在此时段内视太阳在黄道上运转180°。设从春分日开始，视太阳运行了n天，则n天运行了经度：180186n(7)其中，n表示该日期与春分日的间隔天数，表示运行的黄经度。代入（6）式，得：1800.39775,0,186186arcsinsinnn(8)其中，n表示该日期与春分日的间隔天数，表示太阳赤纬。冬半年：自秋分日（9月23日）至冬至日（12月22日）总计90天，在此时段内视太阳的黄道上运转90°，设从春分日开始，视太阳运行了n天，则n天运行了经度：9018018690n(9)其中，n表示该日期与春分日的间隔天数，表示运行的黄经度。代入（6）式，得：0.39775186,186,276arcsinsinnn(10)其中，n表示该日期与春分日的间隔天数，表示太阳赤纬。自冬至日至次年春分日总计89天，在此时段内视太阳在黄道上运转90°。设从春分日开始，视太阳运行了n天，则n天运行了经度：9027027689n(11)其中，n表示该日期与春分日的间隔天数，表示运行的黄经度。代入（6）式，得：900.39775276,276,36589arcsincosnn(12)6其中，n表示该日期与春分日的间隔天数，表示太阳赤纬。综述，可得太阳赤纬与该日期与春分日的间隔天数的分段关系式：1800.39775,0,1861860.39775186,186,276900.39775276,276,36589arcsinsinnnarcsinsinnnarcsincosnn(13)其中，表示太阳赤纬，n表示该日期与春分日的间隔天数。3.时角时角是一个天体的时角被定义为该天体的赤经与当地的恒星时的差值，其数值则表示了该天体与当地子午圈的角距离，并借用时间的单位，以小时来计量（1HA=15度）[4]。太阳时角在正午时约为零，上午为负，日出时约为-90°，日没时约为90°，平均每小时时角变化15°，时角与北京时间关系式为：15'12t(14)由于我国使用的都是北京时间，因此与测量时间之间存在时差：'ttt(15)其中，'t表示测量地测量时间，t表示北京时间，t表示测量地测量时间与北京时间的时差。北京时间是根据东经120°测得，因此计算时差时要以东经120°为标准。由于地球自传360°需要2400分钟，所以经度变化1°时间变化4分钟。1204t