8年级数学下册期中复习练习题

分解因式复习1、提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:(1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等.如:a-b和-b+a即a-b=-b+a(2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互为相反数.如:a-b和b-a即a-b=-（b-a）提公因式法小结：1、当首项系数为负时，一般要提出负号，使剩下的括号中的第一项的系数为正，括号内其余各项都应注意改变负号。2、公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母取各项相同字母的最低次幂的积。3、提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用4、当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式的项数与原多项式的项数一致）2、运用公式法•乘法公式有：•平方差公式：(ａ＋ｂ)(ａ－ｂ)＝ａ²－ｂ².•完全平方公式:(ａ＋ｂ)²＝ａ²＋2ａｂ＋ｂ²，•(ａ－ｂ)²＝ａ²－2ａｂ＋ｂ².•立方和与立方差公式:•(ａ＋ｂ)(ａ²－ａｂ＋ｂ²)＝ａ3＋ｂ3，•(ａ－ｂ)(ａ²＋ａｂ＋ｂ²)＝ａ3－ｂ3.注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式2、公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式3、各项都有公因式，一般先提公因式。3、分组分解法分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.例1：把下列各式因式分解(分组后能提公因式)（1）a2-ab+ac-bc（2）2ax-10ay+5by-bx(3)3ax+4by+4ay+3bx(4)m2+5n-mn-5m4、拆项、补项法拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.1、已知2246130xyxy，求x,y的值5、替代法当发觉公因式比较复杂时，可以用一个简单字母来代替公因式，这样是做题思路清晰，不容易出错。(6x＋x)2－11(6x＋x)＋5（提示：利用a替代(6x＋x)）m2+10m(a+b)+25(a+b)2分解因式.6、十字相乘法借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法例：分解因式（1）（2）（3）（4）点拨：把分解因式时：1、如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数P的符号相同2、如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数P的符号相同232xx672xx2142xx1522xxqpxx21032xx61362xx3、对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数P变式练习：（可以使用十字相乘法）（1）（2）七、系数法：给系数变形一下，每一项同时乘以一个数后再或者除以分解因式：22122xy总结：多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.2.若|m+4|与n²-2n+1互为相反数，把多项式x²+4y²-mxy-n分解因式。解：|m+4|+(n-1)²=0则m+4=0,m=-4;n-1=0,n=1;x²+4y²-mxy-n=x²+4y²+4xy-1=(x+2y)²-1=(x+2y-1)(x+2y+1)3.已知a、b、c是△ABC三边的长，且a²+2b²+c²-2b（a+c）=0.你能判断△ABC的形状吗？请说明理由。解：a²+2b²+c²-2b（a+c）=0a²-2ab+b²+b²-2bc+c²=0(a-b)²+(b-c)²=0则a-b=0,a=b;b-c=0,b=c.即a=b=c.∴△ABC为等边三角形4、综合法因式分解：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)81m4－72m2n2+16n4.第三章第一节：分式1：知识回顾单项式整式多项式【分式的概念】（整式A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B中含有字母，那么称AB为分式，其中A为分式的分子，B为分式的分母。）8624xx2223yxyx234283xxx重点：①、分母中含有字母②、分式只看其初始状态例如aa24③、分式是一种表达形式例如12xx是分式，而(x-2)÷(x-1)不是分式④、π是一个特定的字母，代表一个常数。如1x是整式而不是分式3、分式有意义的条件是：（分母≠0）分式无意义的条件是：（分母＝0）分式的基本性质1、应用分式的基本性质把已知的分子、分母同乘以或除以同一个整式，使分式的值不变.例题讲解2、约分：[分析]约分是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.3．通分：[分析]通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.4、每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.分式的乘除(一)一、分式基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值不变.二、约分的依据：分式的基本性质。约分方法：A、如果分式的分母和分子均为整式，那么只需找出分子和分母的最大公因式，然后根据分式的基本性质同时约去分子分母的最大公因式，把分式化到最简。B、如果分式的分子和分母均为多项式，那么要看分子和分母可不可以各自进行分解因式，然后再根据分式的基本性质进行约分，要注意正负号。【分式的乘除法法则】两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母。两个分式相除,把除式的分子分母颠倒位置后,再与被除式相乘。注意：①分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂，注意系数也要约分。②当分式的分子、分母为多项式时，先要进行因式分解，才能够依据分式的基本性质进行约分．2、分式乘除的混合运算：的整式不等于0,MMBMABAMBMABA(1))4(3)98(23232bxbaxyyxab=xbbaxyyxab34)98(23232(先把除法统一成乘法运算)=xbbaxyyxab349823232（判断运算的符号）=32916axb（约分到最简分式）最简分式的概念：一个分式的分子和分母没有公因式时，就叫做最简分式。二、分式的通分：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式叫做________．注意：分式通分依据——分式的基本性质。分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。三、同分母分式的加减同分母的分数如何加减？需要变符号的要先变号，然后分母不变，分子相加减。四、异分母分式的加减1、先变形，需要变号的要变号。2、先把分母进行因式分解，然后找出各个式子分母的最简公分母，对各个式子进行通分。3、通分后按照同分母的分母运算法则进行运算。4、结果要化为最简分式.五、分式的的加减混合运算分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.例1、2311(1)xxxxxxx．分析：该题综合性较强，涉及整式运算、分解因式等知识．计算时运用乘法分配率较为简便．解：原式11(1)(1)(1)(1)xxxxxxxx11xxx1．例2、xxxxxxxx4)44122(22这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边.例3、2224442yxxyxyxyxyyxx[分析]这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.六、化简求值例1、化简1)2)(1(31xxxx，并指出x的取值范围．分析：分式的计算或化简应先分清运算顺序，再按分式乘除和加减法的法则进行运算.当某项是整式时，可当成分母为1的分数参与通分.解：1)2)(1(31xxxx=)2)(1()2)(1()2)(1(3)2)(1()2(xxxxxxxxxx=)2)(1()2(3222xxxxxx=21x．要使1)2)(1(31xxxx有意义，需满足0201xx且，解得：x≠1且x≠－2.所以x的取值范围是x≠－2且x≠1的实数．学生练习：七：分式应用题1．某项工程，甲单独做所需天数是乙、丙两队合作所需的天数的a倍；乙独做所需的天数等于甲、丙两队合作所需的天数的b倍；丙独做所用的天数等于甲、乙两队合作所需天数的c倍．求111111cba的值.分析：根据工作时间，效率及工作总量之间的关系，用甲、乙、丙三队的工作时间分别表示a，b，c，然后再进一步表示11a，11b，11c.解：设甲、乙、丙三队独做所需的天数分别为x，y，z天.则zyayzzyax111，得yzxzyzxya1，xzyzxyyza11．同理xzyzxyxycyzxzxyxzb11,11．故111111cba=1.八、找规律：2、观察下列各式：61=321=21－31，121=431=31－41，201=541=41－51，301=651=51－61．（1）由此可推测421=；（2）请你猜想出能表示（1）的特点的一般规律，用含字母m的等式表示出来，并说明理由（m表示整数）；（3）请直接用（2）中的规律计算)3)(2(1xx－)3)(1(2xx＋)2)(1(1xx的值．分析：由观察知：当分子是1，分母是两个连续正整数的积时；可把它写成这两个数的倒数的差．分式方程分式方程的定义：等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做、、。2、分式方程求解的一般步骤①去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号。(最简公分母:①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂）②按解整式方程的步骤：移项，若有括号应先去括号,注意变号,合并同类项，把系数化为1求出未知数的值;③验根：求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。如果分式本身约分了，也要带进去检验。★注意（1）注意去分母时，不要漏乘整式项。（2）増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。（3）増根使最简公分母等于0。归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法。3、分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解：a、交叉相乘法例1．解方程：231xxb、化归法例2．解方程：012112xxc、左边通分法例3：解方程：87178xxxd、分子对等法例4．解方