bayesandbayesnetwork

0引言事实上，介绍贝叶斯定理、贝叶斯方法、贝叶斯推断的资料、书籍不少，比如《数理统计学简史》，以及《统计决策论及贝叶斯分析JamesO.Berger著》等等，然介绍贝叶斯网络的中文资料则非常少，中文书籍总共也没几本，有的多是英文资料，但初学者一上来就扔给他一堆英文论文，因无基础和语言的障碍而读得异常吃力导致无法继续读下去则是非常可惜的（当然，有了一定的基础后，便可阅读更多的英文资料）。11月9日上午，机器学习班第9次课，邹博讲贝叶斯网络，其帮助大家提炼了贝叶斯网络的几个关键点：贝叶斯网络的定义、3种结构形式、因子图、以及Summary-Product算法等等，知道了贝叶斯网络是啥，怎么做，目标是啥之后，相信看英文论文也更好看懂了。故本文结合邹博第9次课贝叶斯网络的PPT及相关参考资料写就，从贝叶斯方法讲起，重点阐述贝叶斯网络，依然可以定义为一篇读书笔记或学习笔记，有任何问题，欢迎随时不吝指出，thanks。1贝叶斯方法长久以来，人们对一件事情发生或不发生的概率，只有固定的0和1，即要么发生，要么不发生，从来不会去考虑某件事情发生的概率有多大，不发生的概率又是多大。而且概率虽然未知，但最起码是一个确定的值。比如如果问那时的人们一个问题：“有一个袋子，里面装着若干个白球和黑球，请问从袋子中取得白球的概率是多少？”他们会想都不用想，会立马告诉你，取出白球的概率就是1/2，要么取到白球，要么取不到白球，即θ只能有一个值，而且不论你取了多少次，取得白球的概率θ始终都是1/2，即不随观察结果X的变化而变化。这种频率派的观点长期统治着人们的观念，直到后来一个名叫ThomasBayes的人物出现。1.1贝叶斯方法的提出托马斯·贝叶斯ThomasBayes（1702-1763）在世时，并不为当时的人们所熟知，很少发表论文或出版著作，与当时学术界的人沟通交流也很少，用现在的话来说，贝叶斯就是活生生一民间学术“屌丝”，可这个“屌丝”最终发表了一篇名为“Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances”，翻译过来则是：机遇理论中一个问题的解。你可能觉得我要说：这篇论文的发表随机产生轰动效应，从而奠定贝叶斯在学术史上的地位。事实上，上篇论文发表后，在当时并未产生多少影响，在20世纪后，这篇论文才逐渐被人们所重视。对此，与梵高何其类似，画的画生前一文不值，死后价值连城。回到上面的例子：“有一个袋子，里面装着若干个白球和黑球，请问从袋子中取得白球的概率θ是多少？”贝叶斯认为取得白球的概率是个不确定的值，因为其中含有机遇的成分。比如，一个朋友创业，你明明知道创业的结果就两种，即要么成功要么失败，但你依然会忍不住去估计他创业成功的几率有多大？你如果对他为人比较了解，而且有方法、思路清晰、有毅力、且能团结周围的人，你会不由自主的估计他创业成功的几率可能在80%以上。这种不同于最开始的“非黑即白、非0即1”的思考方式，便是贝叶斯式的思考方式。继续深入讲解贝叶斯方法之前，先简单总结下频率派与贝叶斯派各自不同的思考方式：频率派把需要推断的参数θ看做是固定的未知常数，即概率虽然是未知的，但最起码是确定的一个值，同时，样本X是随机的，所以频率派重点研究样本空间，大部分的概率计算都是针对样本X的分布；而贝叶斯派的观点则截然相反，他们认为参数是随机变量，而样本X是固定的，由于样本是固定的，所以他们重点研究的是参数的分布。相对来说，频率派的观点容易理解，所以下文重点阐述贝叶斯派的观点。贝叶斯派既然把看做是一个随机变量，所以要计算的分布，便得事先知道的无条件分布，即在有样本之前（或观察到X之前），有着怎样的分布呢？比如往台球桌上扔一个球，这个球落会落在何处呢？如果是不偏不倚的把球抛出去，那么此球落在台球桌上的任一位置都有着相同的机会，即球落在台球桌上某一位置的概率服从均匀分布。这种在实验之前定下的属于基本前提性质的分布称为先验分布，或的无条件分布。至此，贝叶斯及贝叶斯派提出了一个思考问题的固定模式：先验分布+样本信息后验分布上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。换言之，在得到新的样本信息之前，人们对的认知是先验分布，在得到新的样本信息后，人们对的认知为。其中，先验信息一般来源于经验跟历史资料。比如林丹跟某选手对决，解说一般会根据林丹历次比赛的成绩对此次比赛的胜负做个大致的判断。再比如，某工厂每天都要对产品进行质检，以评估产品的不合格率θ，经过一段时间后便会积累大量的历史资料，这些历史资料便是先验知识，有了这些先验知识，便在决定对一个产品是否需要每天质检时便有了依据，如果以往的历史资料显示，某产品的不合格率只有0.01%，便可视为信得过产品或免检产品，只每月抽检一两次，从而省去大量的人力物力。而后验分布一般也认为是在给定样本的情况下的条件分布，而使达到最大的值称为最大后验估计，类似于经典统计学中的极大似然估计。综合起来看，则好比是人类刚开始时对大自然只有少得可怜的先验知识，但随着不断是观察、实验获得更多的样本、结果，使得人们对自然界的规律摸得越来越透彻。所以，贝叶斯方法既符合人们日常生活的思考方式，也符合人们认识自然的规律，经过不断的发展，最终占据统计学领域的半壁江山，与经典统计学分庭抗礼。此外，贝叶斯除了提出上述思考模式之外，还特别提出了举世闻名的贝叶斯定理。1.2贝叶斯定理在引出贝叶斯定理之前，先学习几个定义：条件概率（又称后验概率）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。比如，在同一个样本空间Ω中的事件或者子集A与B，如果随机从Ω中选出的一个元素属于B，那么这个随机选择的元素还属于A的概率就定义为在B的前提下A的条件概率，所以：P(A|B)=|A∩B|/|B|，接着分子、分母都除以|Ω|得到file:///C:/Users/zhoulei/AppData/Local/Temp/TempPic/PACK%7BQRE%4YI_FSJANQFAZD.tmp联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为或者。边缘概率（又称先验概率）是某个事件发生的概率。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中那些不需要的事件通过合并成它们的全概率，而消去它们（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率），这称为边缘化（marginalization），比如A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。接着，考虑一个问题：P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。1.首先，事件B发生之前，我们对事件A的发生有一个基本的概率判断，称为A的先验概率，用P(A)表示；2.其次，事件B发生之后，我们对事件A的发生概率重新评估，称为A的后验概率，用P(A|B)表示；3.类似的，事件A发生之前，我们对事件B的发生有一个基本的概率判断，称为B的先验概率，用P(B)表示；4.同样，事件A发生之后，我们对事件B的发生概率重新评估，称为B的后验概率，用P(B|A)表示。贝叶斯定理便是基于下述贝叶斯公式：上述公式的推导其实非常简单，就是从条件概率推出。根据条件概率的定义，在事件B发生的条件下事件A发生的概率是同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率整理与合并上述两个方程式，便可以得到：file:///C:/Users/zhoulei/AppData/Local/Temp/TempPic/OBU@BFN4$LJJBPWQW9]1%60%60N.tmp接着，上式两边同除以P(B)，若P(B)是非零的，我们便可以得到贝叶斯定理的公式表达式：所以，贝叶斯公式可以直接根据条件概率的定义直接推出。即因为P(A,B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)，所以P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)。1.3应用：拼写检查经常在网上搜索东西的朋友知道，当你不小心输入一个不存在的单词时，搜索引擎会提示你是不是要输入某一个正确的单词，比如当你在Google中输入“Julw”时，系统会猜测你的意图：是不是要搜索“July”，如下图所示：这叫做拼写检查。根据谷歌一员工写的文章显示，Google的拼写检查基于贝叶斯方法。下面我们就来看看，怎么利用贝叶斯方法，实现拼写检查的功能。用户输入一个单词时，可能拼写正确，也可能拼写错误。如果把拼写正确的情况记做c（代表correct），拼写错误的情况记做w（代表wrong），那么拼写检查要做的事情就是：在发生w的情况下，试图推断出c。换言之：已知w，然后在若干个备选方案中，找出可能性最大的那个c，也就是求的最大值。而根据贝叶斯定理，有：由于对于所有备选的c来说，对应的都是同一个w，所以它们的P(w)是相同的，因此我们只要最大化即可。其中：P(c)表示某个正确的词的出现概率，它可以用频率代替。如果我们有一个足够大的文本库，那么这个文本库中每个单词的出现频率，就相当于它的发生概率。某个词的出现频率越高，P(c)就越大。比如在你输入一个错误的词“Julw”时，系统更倾向于去猜测你可能想输入的词是“July”，而不是“Jult”，因为“July”更常见。P(w|c)表示在试图拼写c的情况下，出现拼写错误w的概率。为了简化问题，假定两个单词在字形上越接近，就有越可能拼错，P(w|c)就越大。举例来说，相差一个字母的拼法，就比相差两个字母的拼法，发生概率更高。你想拼写单词July，那么错误拼成Julw（相差一个字母）的可能性，就比拼成Jullw高（相差两个字母）。值得一提的是，一般把这种问题称为“编辑距离”，参见博客中的这篇文章。所以，我们比较所有拼写相近的词在文本库中的出现频率，再从中挑出出现频率最高的一个，即是用户最想输入的那个词。具体的计算过程及此方法的缺陷请参见这里。2贝叶斯网络2.1贝叶斯网络的定义贝叶斯网络(Bayesiannetwork)，又称信念网络(BeliefNetwork)，或有向无环图模型(directedacyclicgraphicalmodel)，是一种概率图模型，于1985年由JudeaPearl首先提出。它是一种模拟人类推理过程中因果关系的不确定性处理模型，其网络拓朴结构是一个有向无环图(DAG)。贝叶斯网络的有向无环图中的节点表示随机变量，它们可以是可观察到的变量，或隐变量、未知参数等。认为有因果关系（或非条件独立）的变量或命题则用箭头来连接。若两个节点间以一个单箭头连接在一起，表示其中一个节点是“因(parents)”，另一个是“果(children)”，两节点就会产生一个条件概率值。总而言之，连接两个节点的箭头代表此两个随机变量是具有因果关系，或非条件独立。例如，假设节点E直接影响到节点H，即E→H，则用从E指向H的箭头建立结点E到结点H的有向弧(E,H)，权值(即连接强度)用条件概率P(H|E)来表示，如下图所示：简言之，把某个研究系统中涉及的随机变量，根据是否条件独立绘制在一个有向图中，就形成了贝叶斯网络。其主要用来描述随机变量之间的条件依赖，用圈表示随机变量(randomvariables)，用箭头表示条件依赖(conditionaldependencies)。令G=(I,E)表示一个有向无环图(DAG)，其中I代表图形中所有的节点的集合，而E代表有向连接线段的集合，且令X=(Xi)i∈I为其有向无环图中的某一节点i所代表的随机变量，若节点X的联合概率可以表示成：则称X为相对于一有向无环图G的贝叶斯网络，其中，file:///C:/Users/zhoulei/AppData/Local/Temp/TempPic/00R1TR254XBMA)GVYY@]62T.tmp表示节点i之“因”，或称pa(i)是i的parents（父母）。此外，对于任意的随机变量，其联合概率可由各自的局部条件概率分布相乘而得出：如下图所示，便是一个简单的贝叶斯网络：因为a导致b，a和b导致c，所以有2.2贝叶斯网络的3种结构形式给定如下图所示的一个贝叶斯网络：从