B平面的方程

§3:平面的方程1.平面的法式方程法向:和平面垂直的方向法向一法向二平面有两个法向,二者相差一个符号(,,)lmn设法向的方向余弦是:||0.pON令ONN是原点在平面上的垂足.N的坐标是:(,,)plpmpn(,,)Pxyz设是平面上任意一点P()()()0.lxplmypmnzpn.NP由于方向和法向垂直所以(,,)lmn222:1lmn因为:0(1).lxmynzp所以()()()0.lxplmypmnzpn(1)方程称为平面的法式方程1：当平面不经过原点时，一次项的系数所表示的法向从原点指向平面，法式方程是唯一的.2:当平面经过原点时,平面有两个法式方程，对应的一次项的系数相差一个符号.3:法式方程一次项系数的平方和为1，常数项不大于0，即4：关于点的直角坐标的每一个方程，若则此方程表示一个过点，并且垂直于方向的平面.0lxmynzp2221,0.lmnp2221,0.lmnp(,,)plpmpn(,,)lmn0lxmynzp法式方程的特点221022yz是一个法式方程.:一程例次方2210022xyzxy和而方程不是法式方程.1.平面的一般方程0AxByCzD任意给一个一次方程，假设是平面的法式方程。很显然，方程两边同乘以一个非零常数之后所得到的方程仍然表示同一个平面.0lxmynzp上面这个方程是否也表示一个平面呢？要回答上面的问题，只要看上面这个方程能否化成法式方程。2221)0(2),(AxByCzDABC根据的符号，我们再选择的符号，以确保。这样我们得到的方程（2）就是一个法式方程了，从而也表示一个平面。222ABCD2220DABC在方程两边同除以得0AxByCzD222ABC因此，我们把一次方程叫做平面的一般方程。0AxByCzD2:290xyz一般方程的法例式方程为:12230,333xyz而的法式方程则是220xyz1110.333xyz1110.333xyz和0236xyz的方程法式方程是:0.231614141414xyz平面的一般方程所表示的平面的法式方程为其中正负号的选取依赖于D的符号.0AxByCzD2221)0(AxByCzDABC注2：两个平面平行，意味着它们有相同的法向，所以，它们一般方程的一次项系数成比例.注1：平面的一般方程的一次项的系数，是法向的方向数.(,,)ABC给定一个平面的一般方程0AxByCzD注3：常数项为零表示平面经过原点，而某个一次项系数为零，如假设的系数为零，此时法向的一组方向数为，表明平面平行于轴.(,,0)ABzz通常，画出平面和坐标轴的交点以及和坐标平面的交线，来表示平面.画图在给定的坐标系中画出下列平面(1)2310,(2)4320xyzxz(1):平面和三个坐标轴的交点为11(1,0,0),(0,,0),(0,0,)23ABC平面图像为xyzoABC(2)4320,xzy显然平面和轴平行,13(,0,0),(0,0,)22xzAB平面和轴的交点依次为:平面图像为yzxAB2220.xyz练习,在给定的坐标系中画出平面(1,0,0),(0,2,0),(0,0,1)ABC平面和三个坐标轴的交点为xyzoABC平面图像为(,0,0),(0,,0),(0,0,),,abcabc例已知一平面经过三点这里是三个不为零的实数,求它的方程.0AxByCzD设所求平面的方程为:解:,,.DDDABCabc于是,有由于原点不在所求的平面内,0,D带入上式有1xyzabc该方程称为平面的截距式方程,,,,.abcxyz分别称做平面在轴的截距X0AxByCzD抹掉一次项后平面位置的变化：Cz如果把一般方程的常数项抹掉，或者把某个一次项抹掉，对平面的位置有什么影响？问题O．ZY1P2P3PO．ZY1P2P3P0AxByD例2：一个平面经过点并且垂直于与点的连线，求它的方程.1P2(6,2,7)P1(3,2,1)P解：从到的方向垂直于平面,而这个方向的一组方向数为，所以平面的方程可设为：又因为平面经过，故所以平面的一般方程是1P2P(3,4,6)3460.xyzD1(3,2,1)P334(2)610,7.DD34670.xyz例3：一个平面经过三点求它的方程.123(1,1,1),(2,1,2),(3,3,1),PPP:0AxByCzD解:设平面的一般方程为123,,,PPP因为平面经过三点0,ABCD220,ABCD330.ABCD30,AC420.AB3,2.CABA6.DA2360.xyz1A取得到:从后面两个方程消去第一个方程得因此代入第一个方程得0,A由于方程是一次方程所以因此例4：一个平面经过垂直于平面和求其方程.1(4,3,2),P20xyz23450,xyz0AxByCzD解,设平面的方程为:4320,20,2340.ABCDABCABC760,BC6.7BC即120,7ACC5,.7AC即0.,C因为方程是一次的所以7,C取5,6,AB得52.D567520.xyz依题意得A从后面两个方程消去得,代入第二个方程得:代入第一个方程得:所求的方程为定义（通常取锐角）11n22n两平面法向之间的夹角称为两平面的夹角.11111:0,AxByCzD22222:0,AxByCzD1111(,,),nABC2222(,,),nABC两平面的相关位置按照两个方向的夹角余弦公式有222222212121212121||cosCBACBACCBBAA两平面夹角余弦公式两平面位置特征：12(1);0212121CCBBAA12(2)////11112222.ABCDABCD例1研究以下各组里两平面的位置关系：013,012)1(zyzyx01224,012)2(zyxzyx02224,012)3(zyxzyx解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos601cos两平面相交，夹角.601arccos)2(,212142两平面平行21)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行但不重合．)3(,21214221)0,1,1()0,1,1(MM两平面平行两平面重合.课堂练习：1：求平行于平面0566zyx而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.6660.xyz(0,1,3).Y4:求过点和轴的平面的方程0.x236240.xyz2:求平面和三个坐标平面所围成的四面体的体积V64.(1,1,3).Y5:求过点和轴的平面的方程30.xz(0,-1,0)(2,1,3).X3:在轴的截距为2,并且经过点和的平面的方程36260xyz课后作业P18:11(1,3,5),12(2,4,6)作业答案P18:11(1,3,5),12(2,4,6)zyzo623zyzo23(0,4,1)(1,3,0)