C08组合变形及连接部分的计算1.

组合变形及连接部分的计算第8章8.1概述在工程实际中,构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若其中有一种变形是主要的,其余变形所引起的应力(或变形)很小,则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级,则构件的变形称为组合变形。Fqgh烟囱除自重引起的轴向压缩外,还有水平风力引起的弯曲;机械中的齿轮传动轴在外力作用下,将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形。厂房中吊车立柱除受轴向压力F1外,还受到偏心压力F2的作用,立柱将同时发生轴向压缩和弯曲变形;8.1概述对于组合变形下的构件,在线弹性范围内、小变形条件下,可按构件的原始形状和尺寸进行计算。先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系,分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后,利用叠加原理,综合考虑各基本变形的组合情况,以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态,并据此进行强度计算。若构件的组合变形超出了线弹性范围,或虽在线弹性范围内但变形较大,则不能按其初始形状或尺寸进行计算,必须考虑各基本变形之间的相互影响,而不能应用叠加原理。处理组合变形的基本方法一、将组合变形分解为基本变形——将外力简化或分解,使之每个力(或力偶)对应一种基本变形三、利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加二、分别计算在每一种基本变形下构件的的应力和变形8.1概述=++=+8.1概述在工程实际中,经常需要将构件相互连接。例如桥梁桁架结点处的铆钉(或高强度螺栓)连接、机械中的轴与齿轮间的键连接,以及木结构中的榫齿连接等等。铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件,统称为连接件。连接件(或构件连接处)的变形往往是比较复杂的,而其本身的尺寸都比较小。在工程设计中,通常按照连接的破坏可能性,采用既能反映受力的基本特征,又能简化计算的假设,计算其名义应力,然后根据直接试验的结果,确定其相应的许用应力,来进行强度计算。这种简化计算的方法,称为工程实用计算法。8.1两相互垂直平面内的弯曲对于横截面具有对称轴的梁,当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时,梁发生对称弯曲。梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线,也称为平面弯曲。双对称截面梁在水平纵向对称平面内承受横向外力F1的作用,梁在(水平纵对称面)Oxz平面内发生对称弯曲。同时在铅直纵向对称平面内承受横向外力F2的作用,这时梁在铅垂纵对称面(Oxy平面)内也发生对称弯曲。aF1F2yzOxOzymm在梁的任意横截面m-m上,由F1和F2引起的弯矩值为1yMFxzymmxaF1F2yzxMyMz2()zMFxa横截面m-m上任一点C(y,z)处由弯矩My和Mz引起的正应力分别为yyMzIOzymmzymmxaF1F2yzxMyMzC(y,z)zzMyI由叠加原理,在F1和F2同时作用下,截面m-m上C点处的正应力为yzyzMMzyIIOzymmzymmxaF1F2yzxMyMzC(y,z)具体计算中,先不考虑弯矩My,Mz和坐标y,z的正负号,以其绝对值代入,然后根据梁在F1和F2分别作用下的变形情况,来判断两项应力的正负号。yzyzMMzyII由于中性轴上各点处的正应力均为零,令y0,z0代表中性轴上任一点的坐标,则由上式可得中性轴方程为000yzyzMMzyII中性轴是一条通过横截面形心的直线。zyO在确定中性轴的位置后,作平行于中性轴的两直线,分别与横截面周边相切于D1,D2两点,该两点即分别为横截面上拉应力和压应力为最大的点。qD2D1中性轴工程中常用的矩形、工字形等截面梁,其横截面都有两个相互垂直的对称轴,且截面的周边具有棱角,故横截面上的最大正应力必发生在截面的棱角处。由于危险点处是单轴应力状态,可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件,进行强度计算。[]yzyzMMzyII对于一般实体截面粱,横截面上的切应力数值较小,在强度计算中可不必考虑。例:两端铰支矩形截面梁,其尺寸h＝80mm,b＝40mm,[]＝120MPa,校核梁的强度。解:(1)确定危险截面:2kNmByM1kNmBzMxABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhbMy2kN·mMz1kN·m(2)校核强度:zBzyByWMWMmax6622hbMbhMBzBy3293292106408010110680401093.75MPamax,安全。xABCD30kNz30kN100mm100mm100mmyMy2kN·mMz2kN·mh＝80mm,b＝40mm,[]＝120MPa8.3拉伸(压缩)与弯曲8.3.1横向力与轴向力共同作用等直杆受横向力和轴向力共同作用时,杆将发生弯曲与拉伸(压缩)组合变形。Fqgh对于弯曲刚度EI较大的杆,由轴向力引起的弯矩M(Ft)可以略去不计。ACBl/2l/2FFtFtwCMC(Ft)＝Ft·wC8.3拉伸(压缩)与弯曲设一矩形截面杆,一端固定,一端自由,作用于自由端的集中力位于杆的纵向对称面Oxy内,并与杆的轴线成一夹角j。将外力F沿轴x和y轴方向分解,得到两个分力:cossinxyFFFFjj其中,分力Fx为轴向外力,在此力的单独作用下,杆将产生轴向拉伸,此时,任一横截面上的轴力FN=Fx。因此,杆横截面上各点将产生数值相等的拉应力,其值为NFA正应力'在横截面上均匀分布,如图c所示。分力Fy为垂直于杆轴线的横向外力,在此力的单独作用下,杆将在Oxy平面内发生平面弯曲,任一横截面的弯矩为()yMFlx此时在横截面上任一点K的弯曲应力为zMyI沿截面高度方向的变化规律,如图d所示。这是一个弯曲与拉伸组合变形的杆件。设在外力作用下杆件的变形很小,这时可应用叠加原理,将拉伸正应力'与弯曲正应力按代数值叠加后,得到横截面上的总应力为NzFMyAI设横截面上、下边缘处的最大弯曲应力大于(或小于)拉伸正应力,则总应力沿截面高度方向的变化规律如图e(或f)所示。NzFMyAI+=或NmaxtmaxzFMAW+=或由于在固定端处横截面上的弯矩最大,因此,该截面为危险截面。从图e可知,构件的危险点位于危险截面的上边缘或下边缘处。在下边缘处由于'和均为拉应力,故总应力为两者之和,由此得最大拉应力为NmaxcmaxzFMAW+=或在上边缘,由于'为拉应力,而为压应力,故总应力为两者之差,由此得最大压应力为上两式中的Mmax为危险截面处的弯矩;Wz为抗弯截面系数。Nmaxcmaxc[]zFMAW+=或得到了危险点处的总应力后,即可根据材料的许用应力建立强度条件：Nmaxtmaxt[]zFMAW式中[t]和[c]分别为材料拉伸和压缩时的许用应力。一般情况下,对于抗拉与抗压能力不相等的材料,如铸铁和混凝土等,需用以上两式分别校核构件的强度;对于抗拉与抗压能力相等的材料,如低碳钢,则只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。按叠加原理计算拉伸(压缩)与弯曲组合变形杆横截面上的正应力时,略去了轴向拉(压)力由于弯曲挠度而引起的附加弯矩。对于弯曲刚度EI较小的杆件,在压缩与弯曲组合变形下,轴向压力引起的附加弯矩较大,且其转向与横向力引起的弯矩同向,因此不能按杆的原始形状来计算,叠加原理也不再适用。例:悬臂吊车如图所示,横梁用25a号工字钢制成,梁长l=4m,斜杆与横梁的夹角a＝30º,电葫芦重Q1＝4kN,起重量Q2＝20kN,材料的许用应力[]＝100MPa。试校核横梁的强度。ABCD2m2maFFABFAyFAxFTFBxFBy解:(1)外力计算取横梁AB为研究对象,其受力图如图所示。梁上载荷为F＝Q1+Q2＝24kN,右端斜杆的拉力FT可分解为FBx、FBy两个分力。横梁在横向力F和FAy、FBy作用下产生弯曲;同时在FAx和FBx作用下产生轴向压缩。这是一个弯曲与压缩组合的构件。ABCD2m2maFFABFAyFAxFTFBxFBy当载荷移动到梁的中点时,可近似地认为梁处于危险状态。此时作弯矩图,在梁中点截面上的弯矩最大,其值为FAy＝FBy＝12kNFAx＝FBx＝20.8kN(2)内力和应力计算M24kN·mMmax＝24kN·m从型钢表上查得25a号工字钢的截面面积和抗弯截面系数分别为：24226348.5cm48.510m402cm40210mZAW所以最大弯曲应力为6maxmax62400059.710Pa59.7MPa40210BZMW其分布如图所示,梁危险截面的上边缘处受最大压应力、下边缘处受最大拉应力作用。横梁所受的轴向压力为FN＝FAx＝20.8kN则危险截面上的压应力为N6208000.004854.2910Pa4.29MPacFA均匀分布于横截面上,如图所示。故梁中点横截面上、下边缘处的总正应力分别为Nmaxcmax4.2959.764.0MPaZFMAWNmaxtmax4.2959.755.4MPaZFMAW+=(3)强度校核cmax64MPa[]+=由于工字钢的抗拉与抗压能力相同,故只校核正应力绝对值最大处的强度即可,即由计算可知,此悬臂吊车的横梁是安全的例:一折杆由两根无缝钢管焊接而成,已知两根钢管的外径都是140mm,壁厚都是10mm。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。解:(1)首先求支反力由静力平衡方程可求得FAFA1FBFA1＝0FA＝FB＝5kN由于折杆本身和它所受的力都是左右对称的,故只需分析它的一半即可。(2)用截面法分析内力取AC杆研究由图示尺寸可求得3tan4a将FA沿AC的轴线和垂直AC轴线的方向分解为3kN,4kNAxAyFFFAx产生轴向压缩FAy产生弯曲FAFA1FB任一横截面x上的内力轴力FN＝－FAx弯矩M(x)＝FAy·x剪力FS＝FAy(忽略)危险截面为m-m截面,其内力轴力FN＝－FAx＝－3kN弯矩M＝FAy×2＝8kN·m(3)AC杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力g点为最大压应力点,f点为最大拉应力点。tmaxNcmaxFMAW222242()(0.140.12)40.810m44ADd444484()(0.140.12)86810m6464IDd8638681012410m/20.14/2IWDtmax46cmax663000800040.8101241063.81063.8PaMPa65.265.2108.3拉伸(压缩)与弯曲8.3.2偏心拉伸(压缩)作用在直杆上的外力,当其作用线与杆的轴线平行但不重合时,将引起偏心拉伸或偏心压缩。图示等直杆的横截面具有两个对称轴,承受偏心距为e的拉力F作用。MFO1zyeezsincosyFFMFeFzMFeFyaa把作用在杆端截面上A点处的拉力F向截面形心O1点简化,得到轴向拉力F和力偶矩Fe,矢量与z轴成a角。A(yF,zF)aeaMezMey再将力偶矩Fe分解为Mey和Mez:Fe得到一个包含轴向拉力和两个在纵对称面内的力偶的静力等效力系。轴向拉力使杆发生轴向拉伸,两个力偶分别使杆在两个纵对称面内发生纯弯曲。当杆的弯曲刚度较大时,同样可按叠加原理求解。任一横截面n-n上的任一点C(y,z)处,对应于轴力FN＝F和两个弯矩My＝Mey＝FzF,Mz＝Mez＝Fzy的正应力分别为NFFAAyFyyMzFzzIIzFzzMyFyyII在图示情况下,这三项应力均为拉应力,由叠加原理,即得C点处的正应力为FFyzFzzFyyFAII式中,A为横截面面积；Iy和Iz分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩。F