BE《优化探究》2014高考数学总复习(人教A文)提素能高效题组训练.

第1页共8页[命题报告·教师用书独具]考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难利用正、余弦定理解三角形1、23、4、6、8、9、11三角形形状的判断5三角形面积问题71012一、选择题1．(2012年高考广东卷)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43．23C.3.32解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC中，ACsinB＝BCsinA，∴AC＝BC·sinBsinA＝32×2232＝23.答案：B2．(2013年安阳模拟)在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边为a，b，c，且b2＝a2－ac＋c2，C－A＝90°，则cosAcosC＝()A.14.24C．－14．－24第2页共8页解析：依题意得a2＋c2－b2＝ac，cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac2ac＝12.又0°B180°，所以B＝60°，C＋A＝120°.又C－A＝90°，所以C＝90°＋A，A＝15°，cosAcosC＝cosAcos(90°＋A)＝－12sin2A＝－12sin30°＝－14，选C.答案：C3．已知△ABC的三边长为a，b，c，且面积S△ABC＝14(b2＋c2－a2)，则A＝()A.π4.π6C.2π3.π12解析：因为S△ABC＝12bcsinA＝14(b2＋c2－a2)，所以sinA＝b2＋c2－a22bc＝cosA，故A＝π4.答案：A4．(2013年江西师大附中月考)在△ABC中，∠A＝60°，且角A的角平分线AD将BC分成两段BD、DC，且BD∶DC＝2∶1，若AD＝43，则C＝()A.π6.π4C.π2.π3解析：因为AD是角A的角平分线，所以AC∶AB＝CD∶DB＝1∶2.设AC＝x，则AB＝2x.易知3S△ACD＝S△ABC，即3×12×43×sin30°＝12×2x2sin60°，解得x＝6，所以AB＝12.由余弦定理得BC＝63.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以C＝π2.答案：C5．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形()A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形第3页共8页解析：依题意得asinA＝bsinB，sinB＝bsinAa＝100sin30°80＝58，125832，因此30°B60°，或120°B150°.若30°B60°，则C＝180°－(B＋30°)90°，此时△ABC是钝角三角形；若120°B150°，此时△ABC仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，选C.答案：C二、填空题6．(2012年高考湖北卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝________.解析：应用余弦定理求角．由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得a2＋b2－c2＝－ab，则cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12.又因为角C为△ABC的内角，所以C＝2π3.答案：2π37．(2013年大同质检)在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________．解析：记△ABC的外接圆半径为R.依题意得2B＝A＋C，又A＋C＋B＝π，因此有B＝π3，所以AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝7.又2R＝ACsinB＝7sin60°，即R＝73，故△ABC的外接圆的面积是πR2＝49π3.答案：49π38．(2012年高考重庆卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝________.解析：利用同角三角函数基本关系式、三角函数和角公式及正弦定理求解．在△ABC中，∵cosA＝350，∴sinA＝45.∵cosB＝5130，∴sinB＝1213.第4页共8页∴sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知bsinB＝csinC，∴c＝bsinCsinB＝3×56651213＝145.答案：1459．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝3，2cos2A＋C2＝(2－1)cosB，c＝________，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A＋C)＝(2－1)cosB，所以1－cosB＝(2－1)cosB，解得cosB＝22，∴B＝45°，又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理得3sin60°＝csin75°，解得c＝6＋22.故应填6＋22.答案：6＋22三、解答题10．(2013年北京海淀模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sinB＝33.(1)求cosA及sinC的值；(2)若b＝2，求△ABC的面积．解析：(1)因为A＝2B，所以cosA＝cos2B＝1－2sin2B.因为sinB＝33，第5页共8页所以cosA＝1－2×13＝13.由题意可知，A＝2B,0Aπ，所以0Bπ2.所以cosB＝1－sin2B＝63.因为sinA＝sin2B＝2sinBcosB＝223.所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝539.(2)因为bsinB＝asinA，b＝2，所以233＝a223.所以a＝463.所以△ABC的面积S△ABC＝12absinC＝2029.11．(2012年高考大纲全国卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos(A－C)＋cosB＝1，a＝2c，求C.解析：由B＝π－(A＋C)，得cosB＝－cos(A＋C)．于是cos(A－C)＋cosB＝cos(A－C)－cos(A＋C)＝2sinAsinC，由已知得sinAsinC＝12.①由a＝2c及正弦定理得sinA＝2sinC．②由①②得sin2C＝14，于是sinC＝－12(舍去)或sinC＝12.又a＝2c，所以C＝π6.12．(能力提升)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6.第6页共8页(1)求∠BAC的大小；(2)设E为AB的中点，已知△ABC的面积为15，求CE的长．解析：(1)由已知得tan∠BAD＝BDAD＝13，tan∠CAD＝CDAD＝12，则tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝13＋121－13×12＝1，又∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＝π4.(2)设BD＝2t(t0)，则DC＝3t，AD＝6t，由已知得S△ABC＝12×(2t＋3t)6t＝15，则t＝1，故BD＝2，DC＝3，AD＝6，所以AB＝AD2＋BD2＝210，AC＝AD2＋DC2＝35，则AE＝AB2＝10，由余弦定理得CE＝AE2＋AC2－2AE·AC·cos∠BAC＝5.[因材施教·学生备选练习]1．(2012年高考安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解析：(1)解法一由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为sinB≠0，所以cosA＝12.由于0Aπ，故A＝π3.解法二由题设可知，2b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，于是b2＋第7页共8页c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.由于0Aπ，故A＝π3.(2)解法一因为AD→2＝AB→＋AC→22＝14(AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→)＝141＋4＋2×1×2×cosπ3＝74，所以|AD→|＝72.从而AD＝72.解法二因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝π2.因为BD＝32，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.2．(2013年南昌模拟)△ABC的三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c向量m＝(2，－1)，n＝(sinBsinC，3＋2cosBcosC)，且m⊥n.(1)求角A的大小；(2)现给出以下三个条件：①B＝45°；②2sinC－(3＋1)·sinB＝0；③a＝2.试从中再选择两个条件以确定△ABC，并求出所确定的△ABC的面积．解析：(1)∵m⊥n，∴2sinBsinC－2cosBcosC－3＝0，∴cos(B＋C)＝－32，∴cosA＝32，又0Aπ，∴A＝30°.(2)解法一选择①③，∵A＝30°，B＝45°，C＝105°，a＝2且sin105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24，第8页共8页c＝asinCsinA＝6＋2，∴S△ABC＝12acsinB＝3＋1.解法二选②③，已知A＝30°，a＝2，∵2sinC－(3＋1)sinB＝0，∴2c＝(3＋1)b，∴c＝3＋12b.由余弦定理，知a2＝4＝b2＋3＋12b2－2b×3＋12b×32.∴b2＝8，∴b＝22，c＝3＋12b＝6＋2，∴S△ABC＝12bcsinA＝3＋1.注：不能选①②，因①②不能确定△ABC.高考试题库w。w-w*高考试题库高考试题库w。w-w*高考试题库