Ch2插值法.

§2.1问题的提法第2章插值法一、问题背景?)(xfy),,1,0()(nixfyii)()()()(xPxfxPxP通过处理，求简单函数插值函数是数值计算的基本工具，如后面的数值微积分、微分方程和非线性方程的数值解，以及最优化方法等都要用到插值函数。的插值函数。为就称，满足如果要求)()(),,1,0()()()(xfxPnixfxPxPii应用背景：例如程控加工机械零件、机械制造、土木工程、电子设备等工程实际，以及诸多学科的理论分析中有广泛的应用。2插值函数类的取法很多,也可以是代数多项式、三角多项式或有理函数，也可以且不利于在计算机上其函数形式可能很复杂对函数,),(xf个不同的点上的一组在区间可以获得量假如可以通过实验或测运算1],[)(,,nbaxfbxxxxan210nixfyii,,2,1,0),(上的函数值能否在一个性能优良、便于计算的函数类{P(x)}中，选出一个满足二、插值问题niyxPii,,2,1,0)(。近似代替的函数)()(xfxP这就是插值问题。也可以是区间[a,b]上任意光滑函数或分段光滑函数，等等。三、一般概念若存在一个上的函数值且已知它在点上有定义在区间设函数.,,,,],[)(1010nnyyybxxxabaxfy.,,,)()((2.1)),,1,0()()(10插值节点插值函数为，点的为则称，满足条件简单函数niixxxxfxPniyxPxP(1.1)式为插值条件,称为插值区间区间],[ba.)((2.2))()()(10插值多项式为则称为实数其中的代数多项式是一个次数不超过若xPaxaxaaxPnxPinn.三角插值分段插值；插值函数类的取法很多,也可以是有理函数插值、4f(x)称为被插值函数；P(x0)=y0,P(x1)=y1,,P(xn)=yn称为插值条件P(x)称为插值函数；x0,x1,...,xn称为插值节点[x0,xn]称为插值区间；四、多项式插值的几何意义x称为插值点)(xf)(xP500.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的的的xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的的的xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的的的xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的的的xy)()(xPxf和插值函数对于被插函数处的函数值必然相等在节点ix)()(xfxP的值可能就会偏离但在节点外必然存在着误差近似代替因此)()(xfxP个等分点上若给定如函数5],0[,sinxy，其插值函数的图象如上图。6五、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式上的代数插值多项式为在区间设函数],[)(baxfynnnxaxaxaaxP2210)(且满足niyxPiin,,2,1,0)(--------(2.2)--------(2.3)7满足线性方程组的系数即多项式nnaaaaxP,,,,)(21000202010yxaxaxaann11212110yxaxaxaannnnnnnnyxaxaxaa2210--------(2.4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式nnnnnnxxxxxxxxxV212110200111101)(ninijijxxjixx0由Cramer法则,线性方程组(2.4)有唯一解定理1.nnnxaxaxaaxP2210)(niyxPiin,,2,1,0)(--------(2.2)--------(2.3)),(jixxji若插值节点则满足插值条件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(2.4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(2.4)求插值多项式却不是好方法§2.2拉格朗日插值一、线性插值和抛物插值对给定插值点,求出形如(1))()(10为实数其中innaxaxaaxP的插值多项式的方法有多种.?几何意义.)(,)()(),(),(],[,11110011110010yxLyxLxLxfyxfyxxn，满足要求线性插值多项式及端点函数值假定给定区间时先考察)()(0010101xxxxyyyxL已有公式：)(101001011yxxxxyxxxxxL)(y)()()()(,)(10i1100101011010iixlxlyxlyxLxxxxxlxxxxxl则所求线性插值多项式令1,)(0)()2(0)(1)(1)()()()(110110001010xlxlxlxlxlxlxlxl，，，，并满足称为和其中线性插值基函数1,0,01)(jijijixlijji1,)(0)()2(0)(1)(1)()()()(110110001010xlxlxlxlxlxlxlxl，，，，并满足称为和其中线性插值基函数2)()(01011010且都是线性函数。满足条件和由此可见，xxxxxlxxxxxl2)()(01010110。与是能那么可以证明它们只满足条件和如果一次函数反过来，xxxxxxxxxlxl？?几何意义.)(,)(,)()(,,,22221120022210yxLyxLyxLxLxxxn，满足二次插值多项式，要求假定给定插值节点时再考察(3)1.)(0)(0)(0,)(1)(0)(0)(0)(1)()()(),(221202211101201000210xlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxlxl，，，，，，，并满足是二次函数，和采用基函数法，基函数.))(())(()(2010210xxxxxxxxxl同理.))(())(()(,))(())(()(12021022101201xxxxxxxxxlxxxxxxxxxl(4),)()()()(2211002xlyxlyxlyxL项式于是，所求二次插值多.))(())(())(())(())(())(()(,1202102210120120102102xxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxL也就是(4),)()()()(2211002xlyxlyxlyxL项式于是，所求二次插值多(6)),,1,0,(,1,0)(),(nkikikixlxlnikk满足次个仍采用基函数法，求一插值基函数),())(()()(110nkkkkxxxxxxxxAxl可知二、拉格朗日插值多项式(5)).,,1,0(,)()(110niyxLxLnxxxniinnn，满足次插值多项式要求，个插值节点对于给定的一般情况，),())(()()(110nkkkkxxxxxxxxAxl可知(7)),,1,0()())(()()())(()()(,,1)(110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxlAxlnkkkkkknkkkkkk于是得到由).(,),(),(1,,,11010xlxlxlnnxxxnnn朗日基函数拉格次个上的个节点从而得到在.)((8))()(0拉格朗日插值多项式次称为次插值多项式于是，所求nxLxlyxLnnnkkkn(7)),,1,0()())(()()())(()()(,0110110nkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkjjjkjnkkkkkknkkk也就是2022110021011001)()()()()(2)()()()(1kkkkkkxlyxlyxlyxlyxLnxlyxlyxlyxLn值）多项式时得二次插值（抛物插时得线性插值多项式P21例2.1例1给定数据表xi0123yi01514求三次拉格朗日插值多项式L3(x).123)2)(1(14)1(12)3)(1(5)2()1(1)3)(2(10xxxxxxxxx)(14)(5)(1)(0)(3832103xlxlxlxlxLn解得并代入数据表的数值，）中，取：在公式（).12)(1(616)132(2xxxxxx)())(()()())(()(0110110nkjjjkjnkkkkkknkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx或19例2:15)225(,13)169(,12)144()(fffxf满足已知.)175()(的近似值插值多项式求的二次用fLagrangexf解:225,169,144210xxx设)(0xl插值基函数为的二次则Lagrangexf)())(())((201021xxxxxxxx2025)225)(169(xx)(1xl))(())((210120xxxxxxxx1400)225)(144(xx)(2xl))(())((120210xxxxxxxx4536)169)(144(xx15,13,12210yyy)()()()(2211002xlyxlyxlyxL20插值多项式为的二次因此Lagrangexf)()()()()(2211002xlyxlyxlyxL且)175(f)175(2L)175(15)175(13)175(12210lll73158230.13在例2中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值2025)225175)(169175(121400)225175)(144175(134536)169175)(144175(1521例3.之间与在由于插值点22516917521xxx解:为插值节点与因此取22516921xx)(1xl212xxxx56225x)(2xl121xxxx56169xLagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为)()()(22111xlyxlyxL5622513x5616915x所以)175(f5622517513561691751513.21428572).175(2fLagrange中的线性插值多项式求上例用22Lagrange插值多项式的缺点：(1)插值基函数计算复杂(2)高次插值的精度不一定高21L(175)=13.23015873L(175)=13.2142857217513.22875656准确值比较发现L1(175)的误差比L2(175)要大1.()()nLxfx怎么估计用近似代替时所产生的误差?2.是不是插值多项式的次数越高，其计算结果就越精确？23三、Lagrange插值多项式的截断误差公式插值的从上节可知Lagrangexfy)(,njjjnxlyxL0)()(满足nixfxLiin,,1,0)()(],[bax但)()(xfxLn不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这