Chapter15电路方程的矩阵形式

Chapter15电路方程的矩阵形式主要内容1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵;2.KCL,KVL的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程和列表方程的矩阵形式；4.状态方程。§15-1割集KCL和KVL所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。电路的拓扑----电路中各元件的连接方式。电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。1.割集：是G的一个支路集合，移去这些支路，将使G分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。可以用在连通图G上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G被分离为两部分）。割集：),,,(),,,,(),,,,(),,,(),,,(),,,(),,,(dcbafceafdebcedfcbbeafda非割集：),,,(),,,(cbeaedaKCL适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL方程即变为结点上的KCL方程2.独立割集：一组线性独立的KCL方程对应的割集。应用割集法，首先必须选择一组独立割集。①选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.②连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成21TT和两部分，于是联结21TT和的那些连支和这条树支必构成一个割集。③单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。如下图中),,(),,,(),,,(dfafcbeba④n个结点和b条支路的连通图，其树支数为(n-1)，有(n-1)个单树支割集，称为基本割集组。n个结点的连通图，独立割集为(n-1)，独立割集不一定是单树支割集.⑤连通图G可以有许多不同的树，可选出许多基本割集组。§15-2关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵有向图：图中的每一条支路都给定了一个参考方向。有向图的拓扑性质可以用关联矩阵，回路矩阵和割集矩阵来描述。一、关联矩阵：描述支路与结点的关联性质设有向图的结点数为n，支路数为b，所有结点与支路均加以编号，有向图的关联矩阵Aa为一个)(bn阶矩阵，Aa的行对应于结点，列对应于支路,任一元素jka定义为无关联与结点支路结点指向关联，支路方向与结点支路背离结点关联，支路方向与结点支路,0,1,1jkajkajkajkjkjk①Aa每一列对应于一条支路，每一列中只有两个非零元素，即+1和-1；Aa的行不是彼此独立的，Aa的任一行必能从其他(n-1)行导出；②Aa的任一行划出，剩下的bn)1(阶矩阵以A表示，称为（降阶）关联矩阵，这样，矩阵A的某些列将只具有一个+1或一个-1，每一个这样的列必对应于与划去结点相关联的一条支路，被划去的行所对应的结点可作参考结点；③b条支路电流可以用一个b阶列向量表示，Tbiii21i；矩阵A左乘电流列向量，则乘积是一个(n-1)阶列向量；0iA即的矩阵形式表示的用矩阵上的结点上的结点上的结点0)1(21KCLiniiAiA④b个支路电压可以用一个b阶列向量表示，Tbuuu21u；(n-1)个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示，Tnnnnnuuu)1(21u；因矩阵A的每一列，也就是矩阵AT的每一行，表示每一对应支路与结点的并联情况，故有nUAUT（用矩阵A表示的KVL的矩阵形式）上式说明，支路电压可以用与该支路关联的两个结点的结点电压来表示。二、回路矩阵：描述支路与回路的关联性质设有向图的独立回路数为l，支路数为b，所有独立回路和支路均加以编号，回路矩阵B是一个bl阶矩阵，B的行对应于一个回路，列对应于支路，任一元素jkb定义为无关联与回路支路相反关联，它们的方向与回路支路一致关联，它们的方向与回路支路,0,1,1jkbjkbjkbjkjkjk110100101010111001321654321B110100101010111001321654321fB①如果所选的独立回路组是对应于一个树的单连支回路组，这种回路矩阵称为基本回路矩阵，用Bf表示。Bf的行列次序：l条连支依次排列在对应于Bf的第1至l列，然后再排树支；每一单连支回路的序号为对应连支所在列的序号，该连支的方向为对应回路的绕行方向，Bf中将出现一个l阶单位子矩阵。tlfBIBl，t分别表示与连支和树支对应的部分②回路矩阵B左乘支路电压列向量，所得乘积是一个l阶列向量，因矩阵B的每一行表示每一对应回路与支路的关联情况。021,0uluu中的回路中的回路中的回路即BUBU用矩阵B表示的KVL的矩阵形式③l个独立回路电流可用一个l阶列向量来表示，Tllllliii21i，矩阵B的每一列，就是矩阵BT的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况。lTiBi用矩阵B表示的KCL矩阵形式各支路电流可以用与该支路关联的所有回路中的回路电流来表示。三、割集矩阵：描述支路与割集的关联性质设有向图的结点数为n，支路数为b，该图的独立割集数为n-1，对每个割集编号，并指定一个割集方向（树支方向），割集矩阵Q为一个bn)1(的矩阵，Q的行对应于割集，列对应于支路，任一元素ikq定义为无关联与割集支路关联，它们的方向相反与割集支路关联，它们的方向相同与割集支路,0,1,1jkqjkqjkqjkjkjk①如果选一组单树支割集为一组独立割集，则这种割集矩阵称为基本割集矩阵，用Qf表示。Qf的行列次序：(n-1)条树支依次排列在对应于Qf的第1至(n-1)列；再排列连支，取每一单树支割集的序号与相应树支所在列的序号相同，且选割集方向与相应树支方向一致,则ltfQIQt和l分别表示树支和连支对应部分②根据割集矩阵的定义和矩阵的乘法规则，不难得出0iQ用矩阵Q表示的KCL的矩阵形式③(n-1)个树支电压可用(n-1)阶列向量来表示，Tnttttuuu)1(21u，常选单树支割集为独立割集，树支电压可视为对应的割集电压，tu又是基本割集组的割集电压列向量，因Qf表示的每一列就是TfQ的每一行，故tTfuQu用矩阵Qf表示的KVL的矩阵形式支路电压可以用树支电压（割集电压）来表示。④对某些图来说，有时有AQf。连通图G的矩阵AfBfQKCL0iAlTiBi0iQfKVLnTuAu0uBftTTfuQu§15-3矩阵ffQBA,,之间的关系1.任一个连通图G，支路的排列顺序相同，则00TTBAAB或0,uBuAunT0nTuBAuB2.任一个连通图G，支路排列顺序相同，则00TTBQQB或3.选择连通图G的一个树时，按照先树支，后连支的相同支路顺序排列，写出ffQ,BA,,使ltAAA,ltf1BB,ltfQ1Q,则①0lTtltTf1BAAAB0lTttABA或ltTtAAB1②0lTtltTff1BQ1BQ0lTtQB或ltTtlAABQ1§15-4回路电流方程的矩阵形式1.导出回路电流方程的矩阵形式的依据用B表示的KCL和KVL的矩阵形式，)(0),(KVLKCLlTuBiBi复合支路：一般包含几种元件并按规定方式互相联接。SkU和SkI分别表示独立电压源和独立电流源；dkU表示受控电压源,kZ（或kY）表示阻抗（或导纳）；a.复合支路规定了最多可以包含的不同元件数及其连接方式，可以缺少其中某些元件；b．kI与kU参考方向一致，SkU和SkI与kI(或kU)参考方向相反，dkU与kU方向相反；2.支路方程的矩阵形式（U和I的关系）①无受控电压源（即0dkU），电感间无耦合，第k条支路有SkSkkkkUIIZU)(设TbIII][21I，为支路电流列向量TbUUU][21U，为支路电压列向量TSbSSSIII][21I，为支路电流源的电流列向量TSbSSSUUU][21U，为支路电压源的电压列向量对整个电路有SbSSSbbSSbbUUUIIIIIIZZZUUU2122112121即SSUIIZU)(Z为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。②无受控电压源，但电感之间有耦合时，设第1支路至第g支路之间互相均有耦合，则有SbShSgSSSbbShhSggSSbhgggggbhgUUUUUIIIIIIIIIIZZZMjMjMjZMjMjMjZUUUUU212211212221112121000000000000000可写成SSUIIZU)(式中Z为支路阻抗矩阵，其主对角线元素为各支路阻抗，而非主对角线元素将是相应的支路之间的互感阻抗，因此Z不再是对角阵。③含有受控电压源,第k支路有受控电压源并受第j支路无源元件上的电压ejU或电流ejI控制，即ejkjdkUU或ejkjdkIrU，同样可得支路方程的矩阵形式仍为上式（参见§15-5），只是其中支路阻抗矩阵的内容不同而已。此时Z的非对角元素将可能是与受控电压源的控制系数有关的元素.3.回路电流方程的矩阵形式SSlKVLKCLUIIZUUBIBIT)(0支路方程支路方程代入KVL可得：0])([SSUIIZB0SSUBIBZIBZ再代入KCL得到：SSlIBZUBIBZBT回路电流方程矩阵形式设TldefBZBZ称为回路阻抗矩阵列出矩阵形式的回路电流方程(例15-1PP345)①编写回路电流方程必须选择一组独立回路，一般用基本回路组，选树来处理；②实际复杂电路，独立结点数往往少于独立回路数，故多用结点法.§15-5结点电压方程的矩阵形式1.导出结点电压方程形式的依据用A表示的KCL和KVL的矩阵形式：)(),(0KVLKCLnUAUiAT复合支路：一般包含几种元件并按规定方式互相连接。①skU和skI分别表示独立电压源和独立电流源；②dkI表示受控电流源；kZ（或kY）表示阻抗（或导纳）；a，复合支路规定了最多可以包含的不同元件数及其连接方式，可以缺少其中某些元件；b，kI与kU参考方向一致，SkU和SkI与kI(或kU)参考方向相反，dkI与kI方向相同；2.支路方程的矩阵形式（I和U的关系）①无受控电流源（0dkI），电感间无耦合，第k条支路有SkkSkkSkekkkIUUYIUYI)(设TbIII][21I，为支路电流列向量TbUUU][21U，为支路电压列向量TSbSSSIII][21I，为支路电流源的电流列向量TSbSSSUUU][21U，为支路电压源的电压列向量对整个电路有SbSSSbbSSbbIIIUUUUUUYYYIII