Chapter021数列极限

Chap2极限与连续古希腊Archimede—“穷竭法”；中国魏晋时代刘徽—“割圆术”；Newton—“雏形”，Cauchy，Bolzano，Weierstrass等“发展完善”。Chap2―1数列极限1x2x3x4xnx一、数列定义1函数f:NR称为数列，记为{xn}.即{xn＝f(n)},nN,或x1,x2,…xn,…①xn称为数列第n项，其表达式称为数列的通项。②几何意义：数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取12,,,,nxxx例1讨论数列的单调性和有界性2222nx（n重根号）1(1)1.nnn例2观察数列当＋时的变化趋势二、数列极限定义定义2设有数列{xn}.若存在常数A，使得0,NN,当nN时，|xnA|，则称{xn}的极限为A，或称{xn}收敛于A，记为limnnxA()nxAn或若A不存在，则称数列{xn}无极限，或称为发散(不收敛)①是用来刻划xn与A的接近程度。首先，具有任意性，说明xn与A的接近程度可以任意小；其次，具有相对固定性，一旦给出，就固定这个再去找N。②N的存在性说明无论怎么小，第N项后的所有xn都满足|xnA|，故不满足这种接近程度的xn仅仅有限项。③通常N具有依赖性，即N＝N()，但不具有唯一性。④几何意义3||1lim0.nnqq例证明当时，323lim.212nnn例4证明!lim0.nnnn例5证明||nxA注给定来找N似乎是解不等式，由于N虽然依赖于，但不唯一，因此只需要找一个N使得nN成为的充分条件即可.这就是所谓的“适当放大法”.||nxA适当放大法：1||()()nxAGnnN()(1)lim()0;(2)nGnGn其中适合形式简单，即由2().GnnN容易解出12max{,},||.nNNNnNxA最后取则时，239lim0.79nnnn例6证明lim1(0);(2)lim1.nnnnaan两个结果：(1)例7设数列{xn}对常数A和0q1满足条件1||||()nnxAqxAnN证明lim.nnxA例8设1111,,().lim1nnnnxxnxx求N三、收敛数列的性质定理1（唯一性）若数列{xn}存在极限，则其极限值必唯一.即lim,lim,.nnnnxAxBAB若又则定理2（有界性）收敛数列必有界。即如果{xn}收敛，则M0,使得nN有||.nxM推论1无界数列必发散。推论2若数列{},lim,lim.nnnnnnnxxyxAyBAB满足且则定理3（不等式性）若lim,lim,nnnnxAyBAB且，nnNnNxy则，当时,有N即使将“xnyn”换为“xnyn”,结论也不能改为“AB”.推论4若lim0,,nnxANnN则当时,有N||||0.2nAx推论3（保号性）若lim0,NnnxANnN则，当时,有0.2nAx若将“A0”换为“A0”,则结论改为0.2nAx1),();2)limlim,nnnnnnnxyznxAzN定理4（夹逼性）设数列{xn},{yn},{zn}满足条件{}lim.nnnyyA则数列的极限存在，且{},{}nnxy推论5若数列满足条件.0limnnx则1)0(),nnxynN,0lim)2nny129.max{,,,},(0,1,2,,).miAaaaaim例设.lim:21Aaaannmnnn证明例10.设,1lim)(2nnnxxf求f(x)的表达式.四、数列极限的运算定义3若，则称数列为无穷小（量）。lim0nnx{}nx有限个无穷小量之和仍为无穷小；无穷小乘有界量仍为无穷小；有限个无穷小之积仍为无穷小例11证明{xn}为无穷小的充要条件是{|xn|}为无穷小.定理4（极限与无穷小关系）数列{xn}收敛AR及无穷小量n使xn＝A+n.;limlim)(limnnnnnnnyxBAyx;limlim)(limnnnnnnnyxBAyx(lim,)mmnnxAmN);0(limlimlimByxBAyxnnnnnnnlim(0,)mmnnxAAmN则有,lim,limByAxnnnn定理5若(lim()lim)nnnncxcAcx一个公式101010100,()lim,(),()lllmmnmlmananaalmbnbnbblm若若若例12求极限323232)12(31limnnnnn3.lim1212(1)nnn例1求极限＋＋＋＋＋＋思考11limsinlimlimsinnnnnnnn正确吗？28cos.nnnxn例当时，是（）{}nx定义4对数列,若则称数列为无穷大（量），记为0,||,nMNnNxM，当时N{}nxlimnnxlimlimnnnnxx试一试和－的定义？无穷小，无穷大和无界的关系10,limlim0.nnnnnxxx定理若则无穷大无界，反之不成立(A)无穷小.(B)无穷大.(C)有界的，但不是无穷小.(D)无界的，但不是无穷大.Stolz定理设{yn}严格增加，且.若limnny11limnnnnnxxAyy则有(A可为).limnnnxAy在存在的前提下有公式11limnnnnnxxyy11limlimnnnnnnnnxxxyyy11limlimnnnnnnnnxxxAAyyy例如xn=(1)n，yn=n,则，但lim0nnnxy11(1)2nnnnnxxyyA＝时，结论未必成立！如xn=(1)n1n，yn=n,则111limlim(1)(21)nnnnnnnxxnyy但无极限.1(1)nnnxyCauchy第一定理若,则有limnnaa12limnnaaaan推论若an0,且,则有limnnaa12limnnnaaaaCauchy第二定理若an0,且,则有1limnnnaaalimnnnaa例14求极限22223312233limnnnnn13Ex.求极限12limnnnn23五、数列收敛准则1单调有界定理设数列{xn}单调增加.则当{xn}有上界时,{xn}收敛，当{xn}上无界时,{xn}为正无穷大，且均成立limsup{};nknkxxN若{xn}为单调数列.则{xn}收敛{xn}有界.想一想数列{xn}单调减少时的情形？2222nx(n重根号),例15设1112.0,,(1,2,),2nnnaaana例16设lim.nnx求例17证明数列.11收敛nnnxe=2.7182818284…是自然对数的底(lnx=logex),是无理数.1lim1e.nnn记limnna证明存在并求之.,11e111nnnnynnx且{xn}单调增加收敛于e,{yn}单调下降收敛于e.例18设1111ln,23ncnn证明{cn}收敛.实际上,我们还有定义5数列{xn}中依次取出下标为n1n2…nk…的项组成的新数列12,,,,knnnxxx称为{xn}的一个子列，记为{}knx①子列是k的函数，而不是n的函数。且{}knxknk②奇子列211321{,,,,kkxxxx}即2归并性定理lim{}{},lim.kknnnnnkxAxxxA的子列有可用于判定数列发散。即若能找到{xn}的一个发散子列或两个极限不同的子列，就可断定{xn}发散.212limlimlim.nkknkkxAxAx命题例19说明数列{(－1)n}发散。例20证明无界数列必有一子列为无穷大。定理6设{xn}为单调数列，A＋.则lim{}{},lim.kknnnnnkxAxxxA的子列使例21设1111,23npppan证明当p1时，{an}收敛；当p1时，{an}为正无穷大.3Cauchy收敛准则数列{xn}收敛的充要条件是：0,,,:||.nmNnmNxxN基本列(Cauchy列)满足上述必要性条件的数列！等价形式：0,,,:||.npnNnNpxxNN否定形式：数列{xn}发散当且仅当0000000,,,:||.nmNnmNxxN问题：数列{xn}为基本列与pN有等价吗？lim||0npnnxx例22设1111,23nxn证明{xn}发散.注此例中，对pN有lim||0npnnxx例23设11111(1),23nnxn证明{xn}收敛.思考题如何求极限值lim?nnx