Chapter5_1_最佳一致逼近

第五章函数逼近(ApproximatingFunction)邹秀芬武汉大学数学与统计学院5.1引言函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）举例：对被逼近函数f(x)=sqrt(x）,在区间［0，1］上按三种不同的逼近方式求其形如p1(x)=ax+b的逼近函数.解（1)按插值法，以x0＝0,x1＝１为插值节点对f(x)作一次插值所得形如(1)式的p1(x)是p1(x)=x.dis(f(x),p1(x))=‖f(x)-p1(x)‖∞=max|f(x)-p1(x)|的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p1(x)p１(x)=x+1/8.③按距离dis(f(x),p１(x))=‖f(x)-p1(x)‖２=(∫01[f(x)-p１(x)２dx)1/2的意义下，在P１[０，１］中求得与f(x)的距离最小的形如(1)式的p１(x)p１(x)=4/5x+4/15可见，对同一个被逼近函数，不同距离意义下的逼近，逼近函数是不同的.Chebyshev多项式及其应用Chebyshev多项式及其性质定义1称Tn(x)=cos(narccosx),|x|≤1为n次Chebyshev多项式定义2(交错点组)若函数f(x)在其定义域的某一区间［a,b］上存在n个点{xk}nk=1，①|f(xk)|=max|f(x)|=‖f(x)‖∞，k=1，2，…，n;②-f(xk)=f(xk+1)，k=1,2,…，n-1,则称点集{xk}nk=1为函数f(x)在区间［a,b］上的一个交错点组，点xk称为交错点组的点.Itisveryimportant预备知识：Chebyshev多项式的性质性质1n次Chebyshev多项式Tn(x)的首项系数为2n-1性质2n次Chebyshev多项式相邻三项有递推关系：T0(x)=1,T1(x)=x,Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,….性质6当时，即{x1,…,xn}为Tn(x)的n个零点。21cos(1,...,)2kkxknn0)(knxT性质8当时，交错取到极大值1和极小值1，即),...,1,0(cosnknktk)(kntT||)(||)1()(xTtTnkkndenote显然是首项系数为1的n次Chebyshev多项式.又若记为一切定义在［－１，１］上首项系数为1的n次多项式的集合*()nTx*1()()2nnnTxTx*[1,1]nP这个性质，称为Chebyshev多项式最小模性质.****||()||()()[11]nnnnTxpxpxP对任意，成立Chebyshev多项式的应用——多项式降次(reducethedegreeofpolynomialwithaminimallossofaccuracy)设f(x)Pn(x)。在降低Pn(x)次数的同时,使因此增加的误差尽可能小,也叫economiza-tionofpowerseries。从Pn中去掉一个含有其最高次项的,结果降次为,则：Pn~Pn1|)(|max|)()(|max|)()(|max]1,1[]1,1[1]1,1[xPxPxfxPxfnnn+~因降次而增的误差设Pn的首项系数为an，则取可使精度尽可能少损失。12)()(nnnnxTaxP例：f(x)=ex在[1,1]上的4阶Taylor展开为246214324xxxxP++++，此时误差023.0||!5|)(|54xexR请将其降为2阶多项式。解：取)81(241)(2124124434+xxxTP188244+xxT（查表知）)81(24162123244++++xxxxPP32612413192191xxx+++取)43(61)(21613323xxxTPxxT3433（查表知）192191892413~233++xxPP2||()||0.047xePx若简单取，则误差21)(22xxxP++45.0!3e另类解法可阅读p.228例1。注：对一般区间[a,b]，先将x换为t，考虑f(t)在[1,1]上的逼近Pn(t)，再将t换回x，最后得到Pn(x)。§5.3函数的最佳一致逼近(OptimaluniformApproximation)|)(|max||||],[xffbax在意义下:在Pn［a,b］中，是否存在一个元素pn(x)，使不等式‖f(x)-p*n(x)‖∞≤‖f(x)-pn(x)‖∞(1)对任意的pn(x)∈Pn［a,b］成立?这就是C[a,b]空间中的最佳一致逼近问题一、最佳逼近元的存在性定理5.3.1对任意的f(x)∈C［a,b］,在Pn［a,b］中都存在对f(x)的最佳一致逼近元,记为p*n(x),即‖f(x)-p*n(x)‖∞=inf{‖f(x)-pn(x)‖∞}成立.2最佳一致逼近元的充要条件定理5.3.2(Chebyshev定理）pn*(x)∈P［a,b]对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元的充要条件是误差曲线函数f(x)-pn*(x)在区间［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组.即存在点集at1…tn+2b使得*()()||()()||knkftptfxpx证明充分性用反证法.设f(x)-pn*(x)在［a,b］上存在一个至少由n+2个点组成的交错点组，但pn*(x)不是最佳一致逼近元.不妨设Pn［a,b］中的元素qn(x)为最佳一致逼‖f(x)-qn(x)‖∞‖f(x)-pn*(x)‖∞.(4)Q(x)=pn*(x)-qn(x)=〔f(x)-qn(x)〕-〔f(x)-pn*(x)〕记{x1*,x2*,…,xn+2*}为误差曲线函数f(x)-pn*(x)在［a,b］上的交错点组，由(4)式可知n次多项式Q(x)在点集{x1*,x2*,…,xn+2*}上的符号完全由f(x)-pn*(x)在这些点上的符号所决定，{x1*,x2*,…,xn+2*}为f(x)-pn*(x)的交错点组，即f(x)-pn*(x)在这n+2个点上正负(或负正)相间至少n+1次，从而至少n+1次改变符号，故Q(x)也至少n+1次改变符号，说明n次多项式Q(x)至少在［a,b］上有n+1个根，矛盾.‖f(x)-pn*(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.三、最佳一致逼近元的惟一性定理5.3.3在Pn［a,b］中,若存在对函数f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元，则惟一.证明：反证，设有2个最佳一致逼近元，分别是pn*(x)和qn(x)。则它们的平均函数也是一个最佳一致逼近元。*()()()2nnnpxqxpx+现设误差曲线函数f(x)-pn(x)在区间［a,b］上的一个交错点组为{x1,x2,…,xn+2}，为此En=|f(xk)-pn(xk)|=1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk))|.若对某一个k,1≤k≤n+2,f(xk)-pn*(xk)≠f(xk)-qn(xk)那么上式两个差中至少有一个达不到En或-En，从而En＝|f(xk)-pn(xk)|≤1/2(|f(xk)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)1/2(‖f(x)-pn*(x)‖∞+‖f(x)-qn(x)‖∞)＝1/2(En+En)=En.这是不可能的，因此只有：f(xk)-pn*(xk)=f(xk)-qn(xk),k=1,2，…，n+2即pn*(xk)=qn(xk),k=1,2,…，n+2.而pn*(xk),qn(xk)∈Pn［a,b］，故必有pn(x)=qn(x).四、关于最佳一致逼近元的求解（1）当f(x)为［－１，１］上的n+1次多项式时，求f(x)在Pn［－１,１］中的最佳一致逼近多项式.（利用Chebyshev多项式最小模性质，就比较容易）不妨记f(x)=b0+b1x+…+bn+1xn+1,|x|≤1,且设bn+1≠0，p*n(x)为最佳一致逼近元.由于首项系数为1的n+1次Chebyshev多项式Tn+1(x)无穷模最小，**11()()()nnnfxpxTxb++•pn*(x)=f(x)-bn+1Tn+1(x).(5)考虑两种特殊情形例1设f(x)=4x4＋2x３－５x２＋8x-5/2，|x|≤1.求f(x)在P3［-1,1］中的最佳一致逼近元p3(x).解由f(x)的表达式可知b４＝４,首项系数为1的4次Chebyshev多项式为T4(x)＝x４－x２＋1/8.由(5)式得p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2x３－x２＋8x-3.对区间为［a,b］的情形，先作变换x=(b-a)t/2+(b+a)/2(6)然后对变量为t的多项式用(5)式求得pn(t)，然后再作(6)式的反变换得到［a,b］上的最佳一致逼近多项式.（2）所求的逼近多项式为低次多项式关于交错点组的定理定理5.3.4设pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元.若f(n+1)(x)在区间［a,b］上不变号，则x=a和b为误差曲线函数f(x)-pn(x)在区间［a,b］上交错点组中的点.证明：用反证法.若点a(点b类似)不属于交错点组，那么在区间(a,b)内至少存在n+1个点属于交错点组.即区间(a,b)内n+1个交错点上，f(x)-pn*(x)的一阶导数等于零.这样，由Rolle定理便可推得在(a,b)内至少存在一点,使得f(n+1)()=0.这与f(n+1)(x)在［a,b］上不变号矛盾若f(x)足够光滑，由交错点组的定义，可以推出(a,b)内的交错点必为误差曲线函数f(x)-pn*(x)的驻点故点x=a属于交错点组.推论1：设pn*(x)∈Pn［a,b］为对f(x)∈C［a,b］的最佳一致逼近元.若f(n+1)(x)在区间(a,b)上不变号，而在x=a(或b)处不存在(但为无穷)而符号与(a,b)内f(n+1)(x)的符号相同，则x=a(或b)属于f(x)-pn*(x)的交错点组.例2设f(x)=x.求在P1［0,1］中对f(x)的最佳一致逼近元.解由定理5.3.4和推论1可知x=0,1为f(x)-p1*(x)交错点组的点.由定理5.3.2，交错点还差一个，记这个点为x1∈（０，１），x０＝０，x２＝１x１为区间(0，1)内的交错点，所以x１就是误差曲线函数f(x)-p1*(x)的驻点.记p1*(x)=a０＋a１x，由〔x-(a0+a1x)〕′x１＝０，可得x１＝1/(2a１)２.p1(x)＝x+1/8为所求在P1［0,1］中对f(x)=x的最佳一致逼近多项式.因为x=0,1为交错点，由〔x-(a0+a1x)〕x=0＝〔x-(a0+a1x)〕x=1得a1=1将a１＝１代入x１＝1/(2a１)２得x１＝1/4.〔x-(a0+a1x)〕x1=1/4＝-〔x-(a0+a1x)〕x2=1得a０＝1/8，