Chapter8数据包络分析法-新

综合评价方法何永秀博士教授华北电力大学经济与管理学院OverviewChapter8：数据包络分析法DEAOverviewDEA的原型可以追溯到1957年,Farrell在英国农业生产力进行分析提出的包络思想。1978年,著名运筹学家A.Charnes提出了基于相对效率的多投入多产出分析法——数据包络分析法(DEA,dataenvelopmentanalysis)。Overview1978年，美国著名运筹学家查恩斯（A.Charnes）等人，以相对效率概念为基础，以凸分析和数学规划为工具，创建了一个以他们的名字命名的DEA模型-C2R模型。20世纪80-90年代，又相继提出了多个DEA改进模型。Overview我国学者自1986年开始介入DEA的研究，1988年由魏权龄系统地介绍DEA方法之后，关于DEA方法理论研究得以应用推广。Overview其基本思想是将一个系统看作是一个实体（一个单元）在一定可能的范围内，通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动，这样的实体（单元）被称为决策单元DMU，再由众多DMU构成被评价群体，通过对投入或产出比率的分析，以DMU的各个投入或产出指标的权重为变量进行评价运算，确定有效生产前沿面，并根据各DMU与有效生产前沿面的距离状况，确定各DMU是否DEA有效，DMU的原因及应改进的方向和程度。OverviewDEA评估阶段输入INPUT输出OUPUTDEA模型评价相对有效性纠偏DEA的发展过程中的改进对权重的改进对输入输出方面的改进对决策单元的改进综合DEA模型的研究DEA模型应用空间的推广线性规划问题的标准型MaxZ=CXAX=bX≥0线性规划问题的标准型不等式约束的转换：≥：≥的左端减去一个非负的剩余变量（也可称剩余变量），把不等式约束转换为等式约束。≤：≤的左端加上一个非负的剩余变量（也可称剩余变量），把不等式约束转换为等式约束。线性规划的原问题与对偶问题变换标准型x1x2…xn原关系Minwy1a11a12…a1n≤b1…………ymam1am2…amn≤bm对偶关系≥≥…≥MaxZ=MinwMaxZc1c2…cn线性规划的原问题与对偶问题的关系原问题对偶问题MaxzMinw约束条件数:m对偶变量数:m约束条件为:≤对偶变量:yi≥0约束条件为:=对偶变量yi为自由变量变量xj数为n个约束条件为n个变量xj≤0约束条件为≥变量xj为自由变量约束条件为=一、多指标评价的DEA模型-C2R模型[案例]设有7个双投入、单产出的同型企业，其投入量与产出量如下表，试对它们的生产效率进行概略分析。一、多指标评价的DEA模型-C2R模型企业序号1234567投入1（x1j）191121058投入2（x2j）1016151711产出（yj）120824401202024产出均达到120企业序号1234567投入1（x1j）191556103040投入2（x2j）101530451765产出（yj）1201201201201201201207个企业的数据包络曲线7*6*x2jX1j1*2*3*4*5*•边界点(1,3,5,6,7)-生产效率较高的点;•凸包中的内点(2,4)-生产效率较低的点;•企业数增加,边界点转为内点.数据包络分析法是指以相对效率概念为基础，以凸分析和线性规划为工具的一种评价方法。n个被评价的同类部门，称为决策单元DMU（DecisionMakingUnits），每个DMU都有m种输入及s种输出。数据包络分析法数据包络分析法一、多指标评价的DEA模型-C2R模型由A.Charnes,W.Cooper,E.Rhodes于1978年提出，模型的名称用三位作者的第一个字母表示，简记C2R模型。数据包络分析法-PC2R00101111212max..1,1,2,...,(,,...,)0(,,...,)0srrjrjmiijisrrjrmiijiTmTsuyhvxuystjnvxvvvvuuuu转换为一个等价的线性规划问题000001/,.,.110,0TTTTTTjjTTjjTtvxtvtuuyyvxyuyxvxx转换为一个等价的线性规划问题000max..0,1,2,...,10,0TjTTjjThystxyjnx对偶规划-DC2R0101min..,1,2,...,0,1,2,...,njjjnjjjjstxxyyjnjn无约束一、多指标评价的DEA模型-C2R模型定理1规划（PC2R）和对偶规划（DC2R）都存在可行解，因而都有最优解。设它们的最优值分别为hj0*和θj0*，则hj0*=θj0*。一、多指标评价的DEA模型-C2R模型定义1若线性规划（PC2R）的最优值hj0*=1，则称决策单元j0为弱DEA有效。一、多指标评价的DEA模型-C2R模型Minθs.t.0,0,...,2,1,00101ssnjysyxsxjjnjjjnjj一、多指标评价的DEA模型-C2R模型定理2DMUj0为弱DEA有效的充分必要条件是规划(DC2R1)的最优值θ*=1。DMUj0为DEA有效的充分必要条件是规划(DC2R1)的最优值θ*=1,并且对每个最优解λ*,s*-,s*+都有s*-=0,s*+=0。扩展DEA模型—超效率评价模型(本单元排除在外）11min..,0,1,2,...,0,0DnjjkjjknjjkjjkjVXSXstXSYjnSSBC2模型01011min..,10,0,0,1,2,...,DnjjjnjjjnjjjVXSXstYSYSSjnC2GS2模型-加性DEA01011max()..,10,0,0,1,2,,TTmsDnjjjnjjjnjjjeSeSVstxSxySySSjnFG模型01011min..,10,1,2,,njjjnjjjFGnjjjstxxyyDjn无约束ST模型01011min..,10,1,2,,njjjnjjjSTnjjjstxxyyDjn无约束DEA交叉评价模型max..(1)10,0TkTTjjTTiiiiTkyustyuxvjnyuExvxvuvTTkikikkikTkikyuEyuxv1111nnnnEEEEE11nikikeEnC-D型Ln-型的DEA模型3010112111ˆmax..ˆ10,1,2,,,10,0TTnjjjnjjjnjnjjesesstLnxsLnxLnysLnyPjnnss随机DEA综合模型,,,,,,,,,bjkjtjhjbjkjtjhjjjjjXXYYXXYY111010101011111min,1,,,1,,..,1,,,1,,1,,,,0,01,01,pmskhtSkqhptnjbjbjnjkjkkjnjtjttjnjhjhhjnjjkthkhjVmqsppxxbqxxkqmstyylpyyhpssss1t案例分析设四个决策单元的双输入、单输出数据DMU1234输入12112.4输入21242.4输出11111DMU10,0,00,0,0,014.24224.22..)](min[1214321143212432114321121sssssstssss案例分析求解结果:λ*=(1,0,0,0)T,s1*-=s2*+=0,θ*=1结论:DMU1为DEA有效。同理：DMU2为DEA有效。DMU3为DEA弱有效（λ*=(0,1,0,0)T,s1*-=s1*+=0，s2*-=20,θ*=1）DMU4为非DEA有效（λ*=(0.5,0.5,0,0)T,s1*-=s1*+=s2*-=0,θ*=5/81）DEA有效性的判定-两阶段法①求解线性规划DC2R1,设最优值为θ*,若θ*=1,则DMUj0为弱DEA有效,转至步骤2;若θ*1,则DMUj0不为弱DEA有效,停止。DEA有效性的判定-两阶段法②求解下线性规划,如最优值为0,则DMUj0为DEA有效,反之,DMUj0仅为弱DEA有效。0,0,...,2,1,00101ssnjysyxsxjjnjjjnjj)ˆmax(seseTTDMU在相对有效平面上的投影定理2形成新的DMU，相对于原来的n个DMU来说是DEA有效的。jnjjxsxx1**0*0ˆ**001ˆ+njjjyysyDMU在相对有效平面上的投影定义2分别称为输入剩余和输出亏空。0)1(ˆ*0*000sxxxx0ˆ*000syyyDMU在相对有效平面上的投影若DMUj0为非有效，则通过对其投影，可以在不减少输出的前提下，使原来的输入有所减少，或在不增加输入的前提下，使输出有所增加。0)1(ˆ*0*000sxxxx0ˆ*000syyy三、生产可能集定义：生产可能集T={（x,y）|产出y能用投入x生产出来}参考集：{（x1,y1），（x2,y2），…，（xn,yn）}三、生产可能集对偶规划：minθs.t.Σλjxj≤θx0Σλjyj≥y0λj≥0，j=1，2，…，n来评价DMUj0的DEA有效性。三、生产可能集含义：当（x0，y0）为一个生产活动时，要考察相应于（x0，y0）的DMUj0的有效性，其实质是在（θx0，y0）∈T条件下（即产出y0，而投入θx0），追求以最小的投入获得预计的产出，即求θ的最小值。若θ*1，说明投入由x0减少到θ*x0，仍然可能产出y0，显然DMUj0不为DEA有效。三、生产可能集案例：三个单输入单输出DMUDMUjDMU1DMU2DMU3输入246输出213三、生产可能集对应的生产可能集为：2λ1+4λ2+6λ3≤xT=（x,y）2λ1+1λ2+3λ3≥yλ1≥0，λ2≥0，λ3≥0三、生产可能集1*3*yx2*412632146生产可能集00.511.522.533.544.55012345DMU2DMU1DMU4DMU3TC2R00.511.522.533.544.55012345DMU2DMU1DMU4DMU3TBC200.511.522.533.544.55012345DMU2DMU1DMU4DMU3TFG00.511.522.533.544.55012345DMU2DMU1DMU4DMU3TST四、DEA法的应用1、作用：设计科学的效率评价指标体系；确定有效性-技术与规模；算出投影-决策参考；输入-输出的依赖关系；各DMU之间DEA有效性的关系；对各DMU进行类序分析，为宏观决策提供参考。四、DEA法的应用2、一般步骤①确定评价目标；②建立评价指标体系；③收集和整理数据，进行计算；④分析评价结果并提出决策建议。四、DEA法的应用3、企业科技活动的效率评价用DEA法，对广东省21个城市的大中型工业企业在开展科技活动方面的效率，以城市为单位进行评价。参考