chap5-1作业及答案

第五章数学物理方程和定解条件的导出5-1波动方程的定解问题作业及答案1.一长为l的均匀细杆，0x端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b后静止（在弹性限度内），突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。解：①方程：2222222[()()](,)(,)[]ttxxxxusdxxdxxstuuxdxtuxtudxYYdxtxxxYuuau②边界条件(0,)0()(,)0(0)xutFtulttYs自由振动③初始条件tu(x,0)u(x,0),()xu(,0)0bbxllx由比例得2.一根均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振动方程。解：应用牛顿定律于纵向及横向。①纵向。由纵向加速度为零21T()cosT()cos0gdxdTgdxx+dxx积分0()(0)()(0)()xTxTgdxgxTxTgxglx②横向21T()sinT()sinsin[][][][]11:[][()]()ttxxxdxxxttxttxttttxxxxxudxtguTuTuudxTudxudxxTuuxuTuglxuxxglxugux+dxx因联立3.长为l的弦两端固定，密度为，开始时在xc处受到冲量I作用，写出初始条件。解：1.初始条件1）初位移，0t时弦来不及振动，故(,0)0ux2）初速度，在xc段，由动量定理：21ttPFdtIΔ,而动量的变化为(,0)2(,0)ttPmuxuxΔ，将两式联立，有(,0),2tIuxxc在xc段，没有受到外界作用，故(,0)0,tuxxc4.长为l的均匀细杆，在振动过程中0x端固定，另一端受拉力0F的作用，试写出边界条件（杆的横截面积为S,杨氏模量为Y）.解：我们取(0,)和(,)ll段进行研究，设杆的体密度为，对于(0,)段，由牛顿第二定律有：202uspFt由胡克定律202xxupYsxuusYsFtx当0有000xuYsFx即00xFuxYs对于(,)ll段有202xluusFYstx当0有0xlFuxYs故其边界条件为00xxlFuuxxYs5.线密度为长为l的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度的弦所受阻力uFht，试写出其运动方程。解：任取(,)xxdx一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有2212sinsinxdxxuuTTgdxhdxdxtt水平方向有21coscos0xdxxTT我们研究的范围限于微小振动21210,coscos1即亦即xdxxTTT且1122sintan,sintanxxdxuuxx22222222()xdxxuuuuTgdxhdxdxxxttuuuTdxgdxhdxdxxxttuuuTghxtt因为g这项很小，可以忽略不计所以22220uTuhutxt令2Ta故运动方程为：222220uuhuatxt