Coons曲面的三角扩展

Coons曲面的三角扩展摘要：利用三角多项式结合形状参数对混合函数进行了三角扩展，分别构造了第一类、第二类、第三类混合函数，然后定义了第一类、第二类、第三类Coons曲面和双三次Coons曲面，它们分别是第一类、第二类、第三类Coons曲面和双三次Coons曲面的扩展。探讨了它们的性质和应用。不但通过改变形状参数可以调整曲面的形状，而且选择合适的边界信息矩阵和形状参数还可以精确表示椭球、圆环等二次曲面和平面，给出了双三次Coons曲面的生成和各种应用实例，探讨了形状参数对其内部凹凸性的影响。关键词:曲线曲面造型；三角多项式；形状参数；曲线设计；曲面设计CAGD中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号TrigonometricextensionofCoonscurveGengzixingZhangguicang(CollageofMathematicsandInformationScience,NorthwestNormalUniversity,Lanzhou730070)Abstract：Threeclassesofblendingfunctionswithtrigonometricpolynomialsandtheparameterareconstructedfirstly,basedontheseblendingfunctions.WedefinedthreeclassesCoonssurface.ThisnewsurfaceinheritthepropertyofCoonssurface,theirshapescanbeadjustedthroughchangingthevaluesofshapeparameter-.Moreover,theynotonlycanrepresentplaneprecisely,butalsopreciselyrepresentorapproachquadricsurfaces,wetakeabi-cubicCoonssurfaceforexample,discussedtheeffectofshapeparametertoitsinternalconcavityandconvexity.Keywords:Curveandsurfacemodeling；TrigonometricShapeparameter；Curvedesign；Surfacedesign；CAGDCoons曲面方法是60年代由Coons提出的自由型曲面设计方法，采用了参数方法和分片技术，其方法理论严密、描述能力强，对自由曲面造型技术的发展具有深远的意义。Coons曲面方法是根据给定的边界条件，即四条边界曲线及其跨界切矢，跨界二阶导矢等，利用混合函数来构造的一类曲面．其特点是允许四条边界可以是任意类型的参数曲线，可以插值于边界曲线及其跨界切矢，甚至跨界二阶导矢，所以Coons曲面方法在基于边界插值的自由型曲面设计中得到了广泛的应用，在车、船、飞机的外形设计等领域中常常用到Coons曲面方法。然而，Coons曲面有一定的不足，它具有刚性：当型值点或控制顶点确定了之后，所要构造的曲线、曲面也就确定了，但如果发现构造出来的曲线、曲面达不到满意的效果，要继续调整或改变曲线、曲面的形状，必须调整控制顶点，重新构造新的曲线、曲面，再一次计算曲线曲面表达式，计算量大，曲线的修改相当不便。这对形状设计人员是不利的，如何提高曲线曲面形状、位置调整的灵活性、交互性和自由度，提高设计人员的工作效率，是现阶段CAGD待解决的问题之一，也是国内外CAGD研究的热点之一。本文利用对多项式混合函数引入参数的方法，提出过一种Coons曲面的扩展。文章[5,6]用多种三角函数基构造了Coons曲面的控制函数，受此启发，本章利用三角函数基,cos,cos,sin,12222xxx结合形状参数对Coons曲面进行了三角扩展，分别给出了第一类、第二类、第三类Coons曲面和双三次Coons曲面，分别探讨了它们的性质，通过改变形状参数可以调整曲面的形状，而且选择合适的边界信息矩阵和形状参数可以精确表示椭球、圆环等二次曲面，给出了双三次Coons曲面的生成和各种应用实例。1具有给定边界的第一类Coons曲面1.1第一类混合函数定义1.1称下列两个含有参数的函数为第一类混合函数uuufuuuf)1()sin()()1)(1()cos()(2120(1.1)其中]1,0[u，]1,0[。易见，上述第一类混合函数对于任意的参数都满足如下性质：jijijfi,0,1)(1,0i，1,0j1.2第一类Coons曲面的结构和性质定义1.2设曲面片),(wuP的四条边界曲线为)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP,定义]1,0[,)()(1)1,1()0,1(),1()1,0()0,0(),0()1,()0,(0)()(1),(1010wuwfwfPPwPPPwPuPuPufufwuC(1.2)为第一类Coons曲面，式中)()(10ufuf、与)()(10wfwf、为(1.1)式所定义的第一类混合函数，参数分别为1和2，我们这里可以称其为形状参数。第一类Coons曲面的性质：性质1几何不变性由于第一类Coons曲面和双线性Coons曲面片一样利用参数化构造方法，所以曲面片的形状和位置与坐标系的选择无关。性质2边界性无论两个形状参数1和2如何改变，曲面片的四条边界始终分别插值于)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP四条曲线。证明由定义(1.2)可以直接计算得到。性质3退化性当021时，第一类Coons曲面片退化为双线性Coons曲面片。1.3第一类Coons曲面的应用1．形状参数的应用就双线性Coons曲面片而言，由于第一类Coons曲面片含有两个形状参数1和2，我们不仅可以构造曲面片来插值于所要求的边界曲线，还可以通过调节两个形状参数1和2的值来改变曲面片的形状，这给曲面设计人员提供了极大的选择余地，增强了曲面几何设计的灵活性。2．圆锥面的精确表示第一类Coons曲面片继承了双线性Coons曲面片的良好边界插值性质：曲面片的四条边界始终分别插值于)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP四条曲线，由于其表达式含有三角多项式，所以适当的选取形状参数1和2的值和四条曲线)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP，第一类Coons曲面片可以精确表示球面、椭球面、圆环面等圆锥曲面。2具有给定边界和跨界切矢的第二类Coons曲面2.1第二类混合函数定义2.1称下列四个含有参数的函数为第二类混合函数)()1()](cos)cos([)()()1()](cos)sin(1[)()()1()](cos1[)()()1()(cos)(122210222012210220uGuuuguGuuuguFuufuFuuf(2.1)其中]1,0[u，]1,0[，)(0uF、)(1uF、)(0uG、)(1uG为三次混合函数，其表达式为：)1()()1()(32)(132)(2120231230uuuGuuuGuuuFuuuF易见，上述第二类混合函数对于任意的参数都满足如下性质：0)()(,0,1)()(jgjfjijijgjfiiii1,0i，1,0j2.2第二类Coons曲面的结构和性质定义2.2设曲面片),(wuP的四条边界曲线为)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP，跨界切矢为)0,(uPw、)1,(uPw、),0(wPu、),1(wPu，定义)()()()(1),(1010ugugufufwuC]1,0[,)()()()(1)1,1()0,1()1,1()0,1(),1()1,0()0,0()1,0()0,0(),0()1,1()0,1()1,1()0,1(),1()1,0()0,0()1,0()0,0(),0()1,()0,()1,()0,(01010wuwgwgwfwfPPPPwPPPPPwPPPPPwPPPPPwPuPuPuPuPuwuwuuuuwuwuuu(2.2)为第二类Coons曲面，式中)()(ugufii、与)()(wgwfii、)1,0(i按(2.1)式所定义的第二类混合函数，参数分别为1和2，称其为形状参数。第二类Coons曲面的性质：性质1几何不变性.由于第二类Coons曲面和第二类Coons曲面片一样利用参数化构造方法，所以曲面片的形状和位置与坐标系的选择无关。性质2边界性.无论两个形状参数1和2如何改变，曲面片的四条边界始终分别插值于)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP四条曲线和四条边界的跨界切矢)0,(uPw、)1,(uPw、),0(wPu、),1(wPu。性质3退化性.当021时，第二类Coons曲面片退化为第二类Coons曲面片。2.3第二类Coons曲面的应用1．形状参数的应用就第二类Coons曲面片而言，由于第二类Coons曲面片含有两个形状参数1和2，我们不仅可以构造曲面片来插值于所要求的边界曲线和它们的跨界切矢，还可以通过调节两个形状参数1和2的值来改变曲面片的形状。2．圆锥面的精确表示第二类Coons曲面片由于其表达式含有三角多项式，所以适当的选取形状参数1和2的值和边界信息阵，第二类Coons曲面片可以精确表示球面、椭球面、圆环面等圆锥曲面。3具有给定边界及跨界切矢、跨界二阶导矢的第三类Coons曲面3.1第三类混合函数定义3.1称下列六个含有参数的函数为第三类混合函数)()1()](cos)(cos)(cos[)()()1()](cos)([cos)()()1()](cos2)(cos3)cos([)()()1()](cos)(cos3)(cos)sin(1[)()()1()](cos3)(cos41[)()()1()](cos3)(cos4[)(12421232221102423012423210242523222120124231024230uHuuuuhuHuuuhuGuuuuguGuuuuuguFuuufuFuuuf(3.1)其中]1,0[u，]1,0[，)(0uF、)(1uF、)(0uG、)(1uG、)(0uH、)(1uH为五次混合函数，其表达式为：)2()()33()(473)(683)(10156)(110156)(34521123452103451345034513450uuuuHuuuuuHuuuuGuuuuuGuuuuFuuuuF易见，上述第三类混合函数对于任意的参数都满足如下性质：1,0,0)()()()()()(,0,1)()()(jijhjhjgjgjfjfjijijhjgjfiiiiiiiii3.2第三类Coons曲面的结构和性质定义3.2设曲面片),(wuP的四条边界曲线为)0,(uP、)1,(uP、),0(wP、),1(wP,跨界切矢为)0,(uPw、)1,(uPw、),0(wPu、),1(wPu,跨界二阶导矢为、)0,(upww、)1,(upww、),0(wpuu),1(wpuu。定义]1,0[,)()()()()