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第6章Z变换中国科学技术大学曾凡平第6章Z变换2第5章内容提要•数字卷积•卷积事实上等于序列x[k]和h[k]的反转位移序列相乘后相加•边界效应(boundaryeffect)：待考察的采样区间之前和之后的输入情况未知，导致输出的开始和末尾无法精确计算。][*][][][][nhnxknhkxnyk第6章Z变换3第5章内容提要•受边界效应点数=–FIR：脉冲响应的长度-1–IIR：max(N,M)•系统的暂态和稳态–由系统的初始状态决定的输出分量(暂态)–由系统的输入决定的输出分量（稳态）•Matlab命令：yn=conv(hn,xn);•二维滤波的实现方法：卷积核旋转180度后与图像矩阵相乘后相加。第6章Z变换4第6章主要内容•Z变换是数字信号处理的重要工具，它可使数字信号和系统的描述更加紧凑，使数字信号的计算更加容易。本章内容包括：1.定义Z变换2.计算简单的z变换3.说明Z变换的收敛域4.给出Z变换表5.定义传输函数6.建立传输函数、差分方程和脉冲响应之间的联系7.用Z变换计算滤波器的输出8.说明传输函数的级联与并联9.综述求逆Z变换的方法，包括查表法、长除法和部分分式展开法10.说明怎样确定滤波器的零点和极点11.定义滤波器的稳定性12.研究一阶和二阶系统实例13.分析极点和零点位置对脉冲响应和阶跃响应的影响第6章Z变换56.1Z变换(ztransform)基础•6.1.1单边序列x[n](只考虑n≥0的采样值)的Z变换：X(z)是关于复数变量z的复变函数，具有复变函数的所有性质。变量为复平面上的点为复数看成是级数求和z][][)(0irkkkkzjzzzkxazkxzX第6章Z变换6Z变换的定义域•Z变换的收敛域（定义域）：使Z变换有定义的Z的取值范围。•一般情况下为Z平面（记为[z]）中半径为R_的圆的外面|z|R_•R_也称为收敛半径R_[Z]第6章Z变换76.1Z变换基础（续）•Z变换的记号Z{}•逆Z变换：由Y(z)计算y[n]•关于求和的起点：k=0，任何的信号的初始采样总可以作为信号的起始点。0][][)(kkzkxnxZzX)}({][1zYZny第6章Z变换86.1.2典型信号的Z变换•例6.1计算数字脉冲的Z变换δ[n]只在n=0处有非零值，因此由于该Z变换与z无关，故定义域为整个Z平面•例6.2x[n]=δ[n-N]的Z变换(N为正整数)定义域为|z|0,[z]上除在z=0外的所有点1]0[][]}[{0kkzknZNNkkzzzNkNnZ]0[][]}[{0第6章Z变换96.1.2典型信号的Z变换(续)例6.3数字阶跃x[n]=u[n]的Z变换][)1(z1z1_1||1z11]}[{Z,1||,1||11][][200111100limlimnunZzzkzzRzzznuzzzzzzkunuZkkkkNNNkkNkk即收敛半径定义域为上式收敛为即当第6章Z变换106.1.2典型信号的Z变换（续）第6章Z变换11第6章Z变换126.1.2典型信号的Z变换（续）例6.5计算x[n]=βnu[n]的z变换定义域为|z||β|，当β为虚数时亦成立1||,11)(1)(1lim)(]}[{111111010zzzzzzzznuZNNkkkkkn当第6章Z变换1322222cos2sincossincos||||||][||||][)(][)sin(][)cos(1cos2sincossincos][z][)sin(][)cos(][zzzjzzjzzezezznueZzzznuZeenunZjnunZzzjzzzjzzezznueZenunjnunnuejjjnnnnnjjnnjjnjjn得代入又则变换为：令左边的例第6章Z变换14表6.1基本z变换第6章Z变换156.1.3z变换的性质（单边序列的z变换的性质）①线性性质：②时延性质:延迟定理Z-1：延迟因子]}[{]}[{]}[][{nyZbnxZanybnxaZ]}[{]}[][{nxZzNnuNnxZNZ-1x(n)x(n-1)第6章Z变换16③减幅定理例：由zznzXnxZ1|)(][zzzzzznuZzznuZzzn11][1][111得第6章Z变换176.1.3z变换的性质（续）例6.6x[n]=2u[n-2]的z变换)1(212]2[2]2[2)(2zzzzznuZnuZzX为正整数变换的思考题：求见下页图的流图因子表示用N][)cos(][PPT3.6133][][82.001zNnunenxPknxbnyznkk第6章Z变换18用z延迟符号表示差分方程流图第6章Z变换196.2传输函数6.2.1传输函数与差分方程•传输函数transferfunction：零初始条件下，输出与输入信号的z变换之比•已知传输函数H(z)则可以用传输函数框图来表示数字系统。•H(z)包含了数字系统的所有信息)()()()()()(zXzHzYzXzYzHH(z)Y(z)X(z)第6章Z变换206.2.1传输函数与差分方程（续）NkkkMkkkMkkkNkkkNkMkkkzazbzXzYzHzXzbzYzaknxbknya000000)()()()()(][][延迟定理由•可见，传输函数可以非常直观地描述系统；差分方程和传输函数可以互换。第6章Z变换21P134例6.8差分方程→传输函数第6章Z变换22例6.9差分方程→传输函数第6章Z变换23例6.10差分方程→传输函数第6章Z变换24例6.11传输函数→差分方程第6章Z变换25例6.12传输函数→差分方程第6章Z变换266.2.2传输函数与脉冲响应结论：DSP的传输函数等于单位脉冲响应的z变换变换卷积定理：故而又因为脉冲响应：变换，对应的反变换为为脉冲响应的则输出，即当由于Z)()(][*][)()()(][][][*][][][)()(][)()(1)(][][)()()(01zXzHnxnhZzXzHzYknxkhnxnhnynhZzHzHZnhzzHzYzXnnxzXzHzYk第6章Z变换27用Z传输函数、脉冲响应、差分方程可以描述同一个数字系统第6章Z变换28例6.13P136第6章Z变换296.2.3用z变换计算滤波器输出•在z域，可以用滤波器的传输函数H(z)计算系统的输出，因为H(z)=Y(z)÷X(Z)，有：Y(z)=H(z)×X(z)(6.4)•如图6.4所示，换句话说，输出的Z变换是Z域的传输函数与输入的Z变换之积，而由Y(z)的逆Z变换可得到信号y[n]：)()(][)()()(1zXzHZnyzXzHzY第6章Z变换306.2.4传输函数的级联(串联)和并联滤波器的输出为：Y(z)=H(z)X(z)这个思想也可以扩展到更复杂的系统，如图6.5所示。(a)为滤波器的级(串)联组合。(b)为滤波器的并联组合。z变换可以分析非常复杂的组合滤波器，比起用4.6节的差分方程要简单得多。第6章Z变换31例6.14第6章Z变换32例6.15第6章Z变换33例6.15的差分方程流图第6章Z变换34例6.16第6章Z变换35Z传输函数与Matlab•H(z)的表示–b=[b0,b1,b2,……];–a=[a0,a1,a2,……];–HZ=filt(b,a,Ts);%Ts=采样周期–并联：HZ=H1Z+H2Z–串联：HZ=H1Z*H2Z•如何分解差分方程，减小系数量化效应？–[sos,g]=tf2sos(b,a);第6章Z变换366.3逆Z变换•6.3.1逆z变换的标准式•为了使z变换的求解更容易，应先将z变换式化为标准式：首系数为1的分子/分母多项式（有理真分式）。然后用其他方法进行逆Ｚ变换NNNMNMNNNNMMzzzzzKzazazaazbzbzbbzH11112211022110)(第6章Z变换37例6.17：将z变换化为标准式P139第6章Z变换38例6.18用长除法将有理函数化为严格真有理函数第6章Z变换396.3.2简单的逆z变换•一些简单的逆z变换可用表6.1求出。如6.1节所讲，本书研究的z变换都假定为单边(右边)信号，如表中所列，因此收敛域不予特殊说明。为了确定信号，查表求逆z变换时，要从表中找出其z变换。※查z变换表(PPT12)，灵活运用z变换的性质。第6章Z变换40例6.19指数函数的z变换P140例6.20正弦余弦函数的z变换第6章Z变换41例6.21差分方程与脉冲响应第6章Z变换42例6.22计算传输函数和脉冲响应第6章Z变换43例6.23计算z变换对应的序列x[n]第6章Z变换446.3.3长除法求逆Z变换•对于复杂的z变换式，可以用长除法进行z逆变换，也可以用计算机实现迭代：的值由此迭代出长除法][........]2[]0[]1[]2[]0[]1[]0[][][][][1)(212221100110100221122110nybkyabyayaybbabyaybyknbknyanyzkyzazazazbzbzbbzYkkNkMkkkkkNNMM第6章Z变换456.24长除法计算逆Z变换实例第6章Z变换46例6.25P141第6章Z变换47第6章Z变换48上次课内容提要•Z变换的定义、性质及Z变换的计算•Z传输函数、脉冲响应、差分方程•逆Z变换的查表法及公式法第6章Z变换496.3.4部分分式展开求逆z变换•将z变换展开为简单分式之和，用覆盖法(cover-upmethod)计算待定系数。•这种方法需要求出分母多项式的根，然后覆盖相关的因子以计算相关的系数：))(()()(Y))(()()())()(()()()()())()(()()()()(zzYzzzBzzzzzBAzCzBzAzzzzBzPzQzYz置换，并用中覆盖了因子在第6章Z变换50例6.26第6章Z变换51第6章Z变换52例6.27第6章Z变换53例6.28第6章Z变换54例6.29第6章Z变换55第6章Z变换56第6章Z变换57第6章Z变换58第6章Z变换596.3.5求逆z变换的留数法•若Y(z)为有理真分式函数，且在z=0处无极点，分母阶次比分子阶次高d=N-M阶，则：iiipznmimiipznzzYpzdzdmzzYsnydnnydn1)1(1)()()!1(1)(Re][0][当当第6章Z变换60求逆z变换的留数法例题例：解：F(z)有两个极点P1=1,P2=0.4分母比分子的阶次高1阶。)4.0)(1(6.04.04.16.0)(2zzzzzzzFnznznzzzzzzzzznfnnfn)4.0(1|)4.0)(1(6.0)4.0(|)4.0)(1(6.0)1(][,10][,14.011