DVD在线租赁的分配及优化研究

2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：河南师范大学参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：2015年9月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：1DVD在线租赁的分配及优化研究摘要许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。本文主要运用0—1规划模型，线性规划和目标规划模型，研究在线DVD订单问题。问题一中，首先以“至少50%的会员在一个月之内能够看到DVD”和“至少95%的会员在三个月之内能够看到DVD”为约束条件，建立了简易规划模型，计算出五种DVD至少应准备的数量：7599.8张。五种DVD的具体购买情况见表二。但它没有考虑存在同时愿意看5张DVD中两张DVD的会员情况，故进一步考虑同时想看五种DVD中相同两种DVD的人。用动态方程的方法精确描述了租赁过程，并建立了相应的规划模型。在精确模型中，同样以两种百分数为约束条件。精确模型的具体结果见表6和表7。问题二中，针对偏爱程度和满意度的转化问题，用了非增量函数来解决，并在此基础上建立了0-1规划和目标规划模型。会员对DVD的偏爱度随着订单数的增加而减少，而不同会员对同一种DVD的偏爱度相同时，这就要考虑再分配DVD时优先考虑编号在前的会员，使会员对自己所需要DVD的满意度达到最大。对于当前订单的分配方案的确定问题，建立目标规划模型并用LINGO软件实现对此题的0-1规划模型和目标规划模型的求解，因此可以获得最大的满意度和其中前30位会员获得DVD情况也给出最优的分配方案。问题三中，建立以总的DVD购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。通过确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率；然后通过程序编程来确定每种DVD的购买量；建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配。将多目标规划转化为单目标，同时将第j种在线DVD的购买量yi的整数约束去掉，求解出最小购买数为178.125张。将最小购买数作为约束条件，优化满意度后，得到最大满意度为95%；然后对此时DVD的购买量yi取整，得到总购买数为186张。当购买数为186张时，会员满意度达到97%。问题四中，对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式下网站会得到不同的经济效益。在限定每月最多租赁两次的情况下得到使网站的效益最大时，应该限定每个会员每次租赁最多2张DVD。同时讨论了对于限定每次最多租赁3张DVD的情况下，最佳的租赁次数限制。通过上述模型的建立与求解，充分发挥了网络的诸多优势，传播范围广泛、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的在线DVD订购服务，为经营者提供更合理的经营方式。关键字：0—1规划目标规划LINGO满意度2一、问题的提出考虑如下的DVD在线租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。其中网站有如下几个约定：1、每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。2、会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。现在需要解决以下几个问题：1）若网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？4）在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出问题，并建立相应的数学模型加以改进。二、模型假设和符号说明1.租赁周期为一个月，每月租两次的会员可以在月中再租赁一次；2.同一种DVD每人只能租赁一次；3.DVD在租赁过程中无损坏；4.会员每月至少交一次订单；5.会员只有把前一次所借的DVD寄回，才可以继续下一次租赁；6.月底DVD全部收回，继续下个周期的租赁；7.随着时间的推移，该网站的会员们的流动情况不会出现大变动。符号意义QDVD的张数ija会员i对jDVD订单的数量ijc会员i对某种jDVD偏爱度3jbjDVD第种的总张数iy购买量i会员的标号jDVD的种类ijx第i个月实际DVD准备量三、问题分析3.1问题一的分析1000位会员的调查表即是10万个会员的需求预测。由于具体会员订单的不可预知性，无法考虑各种DVD之间的横向数量约束。但是可以考虑看到DVD的会员中至少50%的会员在一个月之内能够看到该DVD的条件和至少95%的会员在一个月之内能够看到该DVD。这两种情况就是目标函数的一个约束条件。为了结果的精确性，利用目标规划和动态规划建立了简易模型和精确模型。3.2问题二的分析网站给出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，要求给出一个是会员总的满意度最大的一个分配方案。即如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度，就是说对DVD的分配原则是使得会员的满意度最大。具体说来是当会员一次租到的DVD的数量越多满意度越高，当租到的DVD所具有的会员的偏爱度越高满意度也越高，也就是说会员对网站的满意度与满足会员的偏爱度是有关的，显然这是一个0-1规划和目标规划问题。3.3问题三的分析题目需要回答怎样购买各种DVD的数量来使95%的会员能看到想看到的DVD，并且要怎么分配才能使满意度达到最大。建立以总的购买数最小、会员满意度最大为双目标的规划模型。并确定在一个月内每张DVD的在每个会员中手中的使用率，然后通过程序编程来确定每种DVD的购买量。应建立0-1规划模型；通过LINGO软件使满意度达到最大，来最终确定DVD的分配；3.4问题四的分析对任何经营方而言，利润是一个关键的考虑因素，显然在前面三个问题中我们没有考虑网站经营者的成本利润问题。网站的利润与会员所缴纳的月费密切相关，但同时会员观看DVD的满意度也是一个关键因素。所以，问题四主要解决经营者的利润最大化、会员满意度最大化的问题，即网站经营管理者的最优模式。四、模型的建立与求解4.1问题一:如何购买新的DVD解决的问题可分为两个部分，一是至少应该准备多少张DVD，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，我们称这种情况为4“50%的情况”；二是至少应该准备多少张DVD，才能保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD，我们称这种情况为“95%的情况”。这个百分数就是对目标函数的一个约束条件。由题目可知，60%的会员每月租赁两次，40%的会员每月租赁一次。每月租赁两次的会员平均30天归还，考虑到这一特征我们建立了简易模型。同时又考虑到同时存在愿意看5张DVD中的两张DVD的会员情况，会对结果产生影响。我们进一步建立了动态方程下的精确模型。4.1.1简易模型4.1.1.150%的情况通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数表1.愿意观看这些DVD的人数DVD名称1DVD2DVD3DVD4DVD5DVD愿意观看的人数200100502510令iP为10万会员中愿意看iDVD的人的比例，由表1得到1000人中愿意观看每种DVD的概率分别为12345,,,,(0.2,0.1,0.05,0.025,0.01)PPPPP由于这1000人为10万人的子样本，12345,,,,PPPPP也可表示10万人中愿意观看每种DVD的概率。假设网站对5种DVD准备12345(,,,,)xxxxx张才能保证此网看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，q为每月租赁一次的会员的比例。则一个月内租出iDVD的总数为(1)iixqx。希望看到iDVD的总人数为100000*iP。写出简易模型如下：51MiniiSx51115222533354445555+(1-)102+(1-)102+(1-)102+(1-)102+(1-)102xqxpxqxpxqxpxqxpxqxp把12345,,,,(0.2,0.1,0.05,0.025,0.01)PPPPP代入上面的简易模型易得需要准备的DVD的总数量至少为12031.25S张，5张DVD的需要数量分别为12345,,,,6250,3125,1562.5,781.25,312.5xxxxx54.1.1.295%的情况60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次，对这一假设见到你的理解为一个人借两次其实他完全可能下一回变成只借一次的人，同样的借一次的人下月也可能变成借两次的人，只不过总量来看是60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。此外月的分界不可能那么清楚，太清楚则并不方便。针对网站三个月进行的六次租赁我们已DVD1为例，坐下面收发图：图1三个月六次租赁情况时间轴上放的箭头表示网站借出的DVD1的数量，轴下方的箭头表示网站收回的1DVD的数量。三个月内，租赁DVD的总次数为6，假设前一次收回的DVD能够立即进入下一次租赁。网站每次租出DVD数如下：第一次：111cx第二次：1211(1)cqc可借出的为第一次还回的第三次：131112(1)cqcqc借出的为第一次另一部分还回的与第二次还回的第四次：141213(1)cqcqc第五次：151314(1)cqcqc第六次：161415(1)cqcqc推广到一般的12345iiDVD（，，，，）三个月每次租出数目(1,2,,6)ijcj为：611121312423534645(1)(1)(1)(1)(1)iiiiiiiiiiiiiicxcqccqcqccqcqccqcqccqcq