等差数列与等比数列解题技巧

1等差数列与等比数列解题技巧【摘要】在高中数学课程内容中，数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用.因此掌握数列的解题技巧，在我们高中数学中是很有必要的.引言：数列在高考中主要考察用数列的递推公式、等差数列的通项公式参数的确定和性质、前n项和公式和性质及常见的数列的求和方法.一、求数列通向公式的方法1、分析法通过与一些已知通向公式的基本数列进行比较、分析、归纳综合找数列的项与项数之间的关系，求出数列的通向公式.例1、写出数列的一个通向公式（1）、0.7，0.77，0.777.0.7777，...（2）、2，,...1681,833,413,25解：（1）原列各项可以写成有数列得到，而乘的每一项除以79,...999.0,99.0,9.0:na,1.01nna故原数列的一个通向公式为nnnab1.019797（2）、原数列可改写为,...,215,214,213,212,21143210故其通向公式为121nnna例2、根据下面各个数列的首项和递推公式，写出它的前4项并归纳出数列的一个通向公式（1）、)(2,111Nnaaann；)(22,1)2(11Nnaaaannn解：分析:写出前4项，找出规律，然后归纳出通向公式.(1)、由已知，得312,1121aaa,1512,7123423aaaa即,12,12221aa,12,124433aa故数列的一个通向公式为)(12Nnann(2)、由已知，得,3222,11121aaaa,5222,2122334223aaaaaa2即.52,4221,32,2214321aaaa故数列的一个通向公式为)(12Nnnan注:上述题设给出，数列的前n项或给出递推公式和初始条件，分析数列的特征，找出规律，写出通向公式.2、待定系数法例1、已知数列na的通向公式是关于n的二次多项式，按照下列条件，写出数列na的一个通向公式.（1）、;7,3,1321aaa（2）、;8,4,2321aaa（3）、.0,3321aaa分析：设出,2cbnanan然后将321aaa、、代入求出系数,cba、、即得通向公式.解：（1）、,2cbnanan依题意，得,739,324,1cbacbacba解得,1,1,1cba.12nnan（2）、设,2cbnanan依题意，得,839,424,2cbacbacba解得,2,1,1cba.22nnan（3）、的两个根。是方程、032,032naaa设),3)(2(nnaan,23,311aan时，当).3)(2(23nnan注：由n个独立条可确定n个参数的值，因此，当已知数列na中m项数值时，可设通项为（m-1）次多项式，并应用待定系数法，求出这一多项式个项系数的值，进而写出na的表达式。3、换元法换元的关键步骤是变换题设中所给的递推公式，构造出等差数列或等比数列，这种被构造出来的数列称为辅助数列，借助辅助数列便可求得原数列的通向公式.例1、已知数列,2,,,1221daaaqapaannnn且中求数列na的通向公式.分析：将daaannn122变形为,)()(112daaaannnn换元后转化为求等差数列的通向公式.解:将已知条件改写为,)()(112daaaannnn3令.,11duuaaunnnnn则数列nu是以pqaau121为首项，公差为d的等差数列，,...,,,.)1()()1(11,3342231121nnnnuaauaauaauaadnpqdnuu又将上述（n-1）个式子相加，得:dnnpqnuuuaann)2)(1(21))(1(1211.)2)(1(21))(1(dnnpqnpan例2、数列的通向公式。求数列满足nnnnaaaaa,12,111分析:将),1(211211nnnnaaaa变形为转化为求等比数列的通向公式.解：.1211211）（，nnnnaaaa,21,2,1111auuuaunnnn则令数列nu是以21u为首项，以2为公比的等比数列..12,21,2221nnnnnnnaau即4、累加法例1、求数列na：6，9，14，21，30，...的通向公式.分析:观察数列的特征，后面一项减去前面一项的差组成的数列nb：3，5，7，9，...是首项为3，公差为2的等差数列，故可先求出数列nb的通向公式，再推出na的通向公式.解：设原数列中相邻两项（后项减去前项）的差所组成的数列nb，则12nbn，显然，,12,,7,5,311334223112nbaabaabaabaannn各式相加，得：,1125321nnaan.51622nnan5、乘约法例1、已知数列na满足nnnaa21，且21a，求通向公式na.4分析：由nnnaa21得nnnaa21，当n1，2，3，...,（n-1）时得到n-1个关系式，将这n-1个关系式连乘可得na的通向公式.解：由nnnaa21得nnnaa21，当1n时，有11334223122,2,2,2nnnaaaaaaaa，将以上各式左右两端分别相乘得12)1(2)1(1)1(212222nnnnnnaa，又1a也满足上式，12)1(2nnnnaa的通向公式为.注:必须对1a进行验证，若1a满足关系式，则统一写成na的形式；若1a不满足，要写成分段形式.6、构造数列法由已知递推公式进行变形，构造出新的等比数列，然后用累加法、乘约法或直接利用等比数列写出通向公式.例1、已知数列na满足dcaabann11,其中.1,0c证明这个数列的通向公式是.1)(1cdcbdbcannn分析:由递推关系可分别用累加法和构造数列法证明.证法1（累加法）dcaann1,两边同除以1nc得：111nnnnncdcaca，当1n时，有:nnnnncdcacacdcacacdcaca11322332122,,,,将以上各式分别相加，得cccdcccdcacannnn11)11(1)111(12321，.1)(1cdcbdbcannn5证法2：（构造法）设dcaann1可化为)(1racrann，由待定系数法可得:)1(11cdaccdann,可知数列1cdan为以1cdb为首项，以c为公比的等比数列，,)1(11nnccdbcda.1)(1cdcbdbcannn7、递推法例1、已知数列na中，21a，)2)(12(1nnaa，,,3,2,1n求na的通向公式；解:)2)(12(1nnaa,)222()12(1nnaa12222222122na222222121222na2211121212122212nna12112112212211nn111222122nn.122221n二、简单的递推数列即处理策略（1）、对nfaanfaannnn11或型数列通项的求法可用累加法或乘约法.（2）、对nfAaann1型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.（3）、对nnnBaAaa12型数列通项的求法可用累加法和构造数列法.6（4）对BAaDCaannn11型数列通项的求法两边同加上一个常数，这个常数是方程02DxBCAx的根，然后构造数列求解.（5）、对0,nnsaf型数列通项的求法由1nnnssa2n代入原关系式中化只含有na或ns的关系式，然后求解.1、有关“aa1，nfaanfaannnn11或”型数列通项公式的求法.例1、数列na中，，21acnaann1（c为常数，,3,2,1n）且321,,aaa成公比不为1的等比数列.（1）、求c的值；分析：（1）由321,,aaa成等比数列可求出c；（2）用累加法可求通向公式.解（1）21a，caca32,232，因为321,,aaa成等比数列，所以cc32222，解得0c或，2c当0c时，321aaa不符合题意，舍去，故2c.（2）当2n时，由于,2,2312caacaacnaann11，所以cnncnaan211211.又21a，2c故22nnan,3,2n.当n=1时，上式也成立.所以,2,122nnnan.2、有关“aa1，nfAaann10A”型数列通项公式的求法.例1、在数列na中，11a，nnnaa221.（1）、设nb12nna，证明：数列nb是等差数列.（2）、求数列na的前n项和nS.分析:此题可先求出na，也可通过变形直接证明，求出nb，再求出na，进而求出nS.7（1）证明：nnnaa221，12211nnnnaanb12nna，11nnbb，即11nnbb，11b，故数列nb是首项为1，公差为1的等差数列。（2）解:由（1）知nbn，12nnna，则12102212221nnnnnS，nnnnnS22122212121，两式相减，得12222212110nnnnnnnS.3、有关“baaa21,,nnnBaAaa12为常数、BA”型数列通项公式的求法.例1、已知数列na中，2,121aa，且111nnnqaaqa（2n，0q）.（1）、设nnnaab1Nn，证明nb是等比数列；（2）、求数列na的通向公式；分析:首先将原关系式变形为11nnnnaaqaa，构造出新的数列可证明nb为等比数列，且na可求.（1）证明：由题设111nnnqaaqa（2n），得11nnnnaaqaa，即2,1nqbbnn。由是所以nbqaab,0,1121首项为1，公比为q的等比数列。（2）解：由（1），,,,12312qaaaa.221nqaannn将以上各式相加，得2121nqqaann，即2121nqqaann所以当2n时，8.1,,,1,1111qnqqqann上式对1n显然成立.4、有关“,1aaBAaDCaannn11（其中DCBA、、、为不同时为零的常数）”型数列通项公式的求法.例1、已知数列na的首项321a，,121nnnaaa.,2,1n证明：数列11na是等比数列.证明:,121nn