高考圆锥曲线典型例题(必考)

19.1椭圆典例精析题型一求椭圆的标准方程【例1】已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程.【解析】故所求方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.【点拨】(1)在求椭圆的标准方程时，常用待定系数法，但是当焦点所在坐标轴不确定时，需要考虑两种情形，有时也可设椭圆的统一方程形式：mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)；(2)在求椭圆中的a、b、c时，经常用到椭圆的定义及解三角形的知识.【变式训练1】已知椭圆C1的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线C2的顶点在原点、焦点在x轴上.小明从曲线C1，C2上各取若干个点(每条曲线上至少取两个点)，并记录其坐标(x，y).由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆C1上，也不在抛物线C2上.小明的记录如下：据此，可推断椭圆C1的方程为.x212＋y26＝1.题型二椭圆的几何性质的运用【例2】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.【解析】(1)e的取值范围是[12，1).(2)21FPFS＝12mnsin60°＝33b2，【点拨】椭圆中△F1PF2往往称为焦点三角形，求解有关问题时，要注意正、余弦定理，面积公式的使用；求范围时，要特别注意椭圆定义(或性质)与不等式的联合使用，如|PF1|·|PF2|≤(|PF1|＋|PF2|2)2，|PF1|≥a－c.【变式训练2】已知P是椭圆x225＋y29＝1上的一点，Q，R分别是圆(x＋4)2＋y2＝14和圆(x－4)2＋y2＝14上的点，则|PQ|＋|PR|的最小值是.【解析】最小值为9.题型三有关椭圆的综合问题【例3】(2010全国新课标)设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过F1斜率为21的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求E的方程.(1)22.(2)为x218＋y29＝1.【变式训练3】已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，两焦点为F1，F2，抛物线以F1为顶点，F2为焦点，P为两曲线的一个交点，若|PF1||PF2|＝e，则e的值是()A.32B.33C.22D.63【解析】选B题型思有关椭圆与直线综合问题【例4】【2012高考浙江理21】如图，椭圆C：2222+1xyab(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线l的方程．.【变式训练4】【2012高考广东理20】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：22221(0)xyabab的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．3总结提高1.椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏.确定椭圆需要三个条件，要确定焦点在哪条坐标轴上(即定位)，还要确定a、b的值(即定量)，若定位条件不足应分类讨论，或设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)求解.2.充分利用定义解题，一方面，会根据定义判定动点的轨迹是椭圆，另一方面，会利用椭圆上的点到两焦点的距离和为常数进行计算推理.3.焦点三角形包含着很多关系，解题时要多从椭圆定义和三角形的几何条件入手，且不可顾此失彼，另外一定要注意椭圆离心率的范围.练习1（2009全国卷Ⅰ理）已知椭圆22:12xCy的右焦点为F,右准线为l，点Al，线段AF交C于点B，若3FAFB,则||AF=()A.2B.2C.3D.3选A.2（2009浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P．若2APPB，则椭圆的离心率是（）A．32B．22C．13D．12【答案】D3.（2009江西卷理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为A．22B．33C．12D．13【答案】B4.【2012高考新课标理4】设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，12PFF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）4()A12()B23()C()D【答案】C5【2012高考四川理15】椭圆22143xy的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B，当FAB的周长最大时，FAB的面积是____________。【答案】36【2012高考江西理13】椭圆)0(12222babyax的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，F2。若1AF，21FF，BF1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.【答案】55【例4】【解析】(Ⅰ)：22+143xy．(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝12x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝12x0．∴220220+12333434422+143AAABABABABABBBxyxyyxxkxxyyyxy．设直线AB的方程为l：y＝﹣32xm(m≠0)，入椭圆：2222+143333032xyxmxmyxm＝-．显然222(3)43(3)3(12)0mmm．∴﹣12＜m＜12且m≠0．由上又有：ABxx＝m，AByy＝233m．∴|AB|＝1ABk|ABxx|＝1ABk2()4ABABxxxx＝1ABk243m．∵点P(2，1)到直线l的距离表示为：31211ABABmmdkk．∴SABP＝12d|AB|＝12|m＋2|243m，当|m＋2|＝243m，即m＝﹣3或m＝0(舍去)时，(SABP)max＝12．此时直线l的方程y＝﹣3122x．【变式训练4】【解析】（1）设22cab由222233cecaa，所以222213baca设(,)Pxy是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb2222222||(2)3(2)2(1)6PQxyayyya5当1b时，当1y时，||PQ有最大值263a，可得3a，所以1,2bc当1b时，226363PQab不合题意故椭圆C的方程为：2213xy（2）AOB中，1OAOB，11sin22AOBSOAOBAOB当且仅当90AOB时，AOBS有最大值12，90AOB时，点O到直线AB的距离为22d2222212222dmnmn又22223133,22mnmn，此时点62(,)22M。9.2双曲线典例精析题型一双曲线的定义与标准方程【例1】已知动圆E与圆A：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆B：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心E的轨迹方程.【解析】x22－y214＝1(x≥2).【点拨】利用两圆内、外切圆心距与两圆半径的关系找出E点满足的几何条件，结合双曲线定义求解，6要特别注意轨迹是否为双曲线的两支.【变式训练1】P为双曲线x29－y216＝1的右支上一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()A.6B.7C.8D.9【解析】选D.题型二双曲线几何性质的运用【例2】双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q(2a,0)，若C上存在一点P，使PQAP＝0，求此双曲线离心率的取值范围.【解析】(1，62).【点拨】根据双曲线上的点的范围或者焦半径的最小值建立不等式，是求离心率的取值范围的常用方法.【变式训练2】设离心率为e的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是()A.k2－e2＞1B.k2－e2＜1C.e2－k2＞1D.e2－k2＜1【解析】，故选C.题型三有关双曲线的综合问题【例3】(2010广东)已知双曲线x22－y2＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P(x1，y1)，Q(x1，－y1)是双曲线上不同的两个动点.(1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；(2)若过点H(0，h)(h＞1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求h的值.【解析】(1)轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.(2)符合条件的h的值为3或2.【变式训练3】双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2等于()A.1＋22B.3＋22C.4－22D.5－22【解析】故选D总结提高1.要与椭圆类比来理解、掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质，但应特别注意不同点，如a，b，c的关系、渐近线等.2.要深刻理解双曲线的定义，注意其中的隐含条件.当||PF1|－|PF2||＝2a＜|F1F2|时，P的轨迹是双曲线；当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|时，P的轨迹是以F1或F2为端点的射线；当||PF1|－|PF2||＝2a＞|F1F2|时，P无轨迹.3.双曲线是具有渐近线的曲线，画双曲线草图时，一般先画出渐近线，要掌握以下两个问题：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；7(2)求已知渐近线的双曲线的方程.如已知双曲线渐近线y＝±bax，可将双曲线方程设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再利用其他条件确定λ的值，求法的实质是待定系数法.练习1、【2012高考山东理10】已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心学率为32.双曲线221xy的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（A）22182xy（B）221126xy（C）221164xy（D）221205xy【答案】D2．直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同两点，则k的取值范围是A．(－153，153)B．(0，153)C．(－153，0)D．(－153，－1)3.【2012高考湖北理14】如图，双曲线22221(,0)xyabab的两顶点为1A，2A，虚轴两端点为1B，2B，两焦点为1F，2F.若以12AA为直径的圆内切于菱形1122FBFB，切点分别为,,,ABCD.则（Ⅰ）双曲线的离心率e；（Ⅱ）菱形1122FBFB的面积1S与矩形ABCD的面积2S的比值12SS.【答案】;215e25221SS【例3】由题意知|x1|＞2，A1(－2，0)，A2(2，0)，则有直线A1P的方程为y＝y1x1＋2(x＋2)，①直线A2Q的方程为y＝－y1x1－2(x－2).②方法一：联立①②解得交点坐标为x＝2x1，y＝2y1x1，即x1＝2x，y1＝2yx，③则x≠0，|x|＜2.而点P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1上，所以x212－y21＝1.将③代入上式，整理得所求轨迹E的方程为x22＋y2＝1，x≠0且x≠±2.方法二：设点M(x，y)是A1P与A2Q的