23向量组与矩阵的秩

2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt1华南农业大学理学院应用数学系多媒体教学课件2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt2第2.3节向量组与矩阵的秩如何判断向量组是否线性相关？2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt3()ijmnAa矩阵,在A中任取k行k列,由这些行列相交处的元素按原来的相对位置构成的,称为A的,若A是一个n阶方阵,则只有一个n阶子式k阶行列式k,就是阶子式A的行列式1.....................na11121n21222nn2nnaaaaaa|A|=aa2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt4定义2.6矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为矩阵A的秩(rank),记为R(A).则称A为满秩矩阵;||0A否则，称A为降秩矩阵.另外，零矩阵的秩为0.对n阶方阵,如果2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt5如果矩阵A中有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式都为0，则矩阵A的秩等于r.例求矩阵的秩123235471A解在A中，容易看出一个2阶子式12023A的三阶子式只有一个A经计算可知0A因此R（A）=2。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt62.4:mnA矩阵的m个行向量线性相关的充要条件是R(定理A)m.12312:(1):a(1,1,1),a(2,1,1),a(4,1,1).(2):a(1,1,2),a:(1,3,4)讨论下列向量组的例线性相关性.123:2.4,,30()3,,,.ARAaaa利用定理那么1-111-11(1)设A=21-1由于中只有一个阶子式,即|A|=21-14-114-11因此故分线性相关析2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt712312:(1):a(1,1,1),a(2,1,1),a(4,1,1).(2):a(1,1,2),a:(1,3,4)讨论下列向量组的例线性相关性.2112(2),21341120,13AAD设由于矩阵中有一个阶子式分析：12()2,,RAaa所以因此向量组线性无关.2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt8推论2.1任意m(mn)个n维向量线性相关.（注：由于没有m阶子式，故R(A)m）2.2m个n维向量线性无关的充要条件是由它们组成的mn矩阵的秩为m(m推论n).推论2.3n个n维向量线性无关（相关）的充要条件是由它们组成的矩阵行列式不等于0(等于0).2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt912121111122321313150A矩阵可验证:R(A)=2,这里A的2阶子式121011D234,,,31中任意个向量都线性相关。因此,包含D的两个向量12,线性无关,定理2.5矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，且任意r+1个行向量（如果存在）线性相关。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt10有没有更简单的方法来计算矩阵的秩？实际上我们有：矩阵的初等变换并不改变矩阵的秩，因为初等变换不改变行列式是否为零的性质。因此，可以将矩阵通过初等变换先化成行阶梯型矩阵，就可较快求出矩阵的秩。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt11定义2.71122,,,3mmaaa设A为mn矩阵，若A满足下列三个条件：1以下的元全为零；2每一行的第一个非零元前面的零元个数大于前一行这种零元的个数；如果某一行的元全为零，则以下所有行的元全为零。A行阶则称为梯形矩阵。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt12例如12-8103-290040300481005800024000-200000，都是行阶梯型矩阵。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt13定义：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元1所在列的其它元素都为零的行阶梯型矩阵称为行最简矩阵。100001000010000101001000014000100000，都是行最简矩阵。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt14例2.6计算前面矩阵A的秩.解：对系数矩阵A进行初等行变换：21314121212112121111120103123213010311315001031rrrrrrA容易看出上述行阶梯形矩阵的秩等于2,因此R(A)=2.定理2.6矩阵A的秩等于A经过初等行变换所得行阶梯形矩阵的非零行的行数。324212121010310000000000rrrr2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt15定义2.8设有向量组T,如果:12(1),,;(2)1rTrTr在中个向量线性无关中任意个向量(如果有的话)都线性相关.12,,rT最大线性无关向量组,最大无关组,则称是向量组的一个简称数r称为向量组T的秩.2.7:定理矩阵的秩等于它的行（列）向量组的秩。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt1612345:2.7求下列向量组的一个最大无关组，并把其它向量用此最大无关组线性无示。＝（2，1，4，3）;＝（-1，1，-6，6）;＝（-1，-2，2，-9）;＝例（1，1，-2，7）;＝（2，4，4，9）;AA21112101041121401103A=46224000133697900000把它们按列排成矩阵，对施初等行变换化为解：行最简型矩阵2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt1721112101041121401103A=46224000133697900000124100010001000TTT因为(,,)1243125124,,,,433.故线性无关由以上行最简形矩阵可知:2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt181212122.1:(1)(2),,,,..srs设向量组可以由向量组线性表引示,如果sr,则线性相关两个等价的向量组秩相等理12121212,,,,,,.srsr如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示,则称向量组可以由向量组线性表示1212,,,.sr如果向量组与向量组可以互相线性表示,则称这两个向量定义2.9组等价:2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt19定理2.8设有向量组T,如果：121212(1),,,,,,rrrTrT在中有个向量线性无关;(2)T中任意一个向量都可以由向量组线性表示,则是向量组的一个最大无关组.一个向量组的最大无关组一般不是唯一的，但由引理2.1可以保证它们都含有相同个数的向量.2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt20练习1.2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt212.设矩阵2111211214,4622436979A求矩阵A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示。解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。1121401110~,0001300000A行变换2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt22而三个非零行向量的非零首元在1、2、4三列，故a1,a2,a4为列向量组的一个最大无关组。124111011,,~,001000aaa行变换124124(,,)3,,,.Raaaaaa故线性无关知R(A)=3,故列向量组的最大无关组含3个向量。这是因为1121401110~,0001300000A线性表示，123451010401103,,,,~,0001300000aaaaa行变换3125124,433.aaaaaaa即得35124,,,aaaaa为把用把A再变成行最简形矩阵。2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt243.1023526202,36043A设求A的列向量组的一个最大无关组及A的其余列向量用它们线性表示的表达式。解对A施行初等行变换变为行阶梯形矩阵。10205~01102,00010A行变换()3,RA知唯一)。且有：3125122;52.aaaaaa124,,aaa故为A的列向量组的一个最大无关组(不2020年1月12日星期日Spring2010,17ppt25作业P722.2:(1);2.8;2.9(3)