25矩阵的初等变换与初等矩阵一

线性代数第二章矩阵2.5矩阵的初等变换与矩阵的秩2.5.1矩阵的初等变换用加减消元法解线性方程组时，所用的初等变换法，使用在矩阵中，就是矩阵的初等变换。1.矩阵初等变换的概念中学中用消元法解线性方程组时，常用的同解变换是：①交换两个方程的位置；②用一个非零的常数乘方程的两端；③一个方程的倍数加到另一个方程上。例如：解线性方程组123123123123x3243251123237xxxxxxxxxxx41113323252112137123123123123x3243251123237xxxxxxxxxxx4111332325211213723555xx2371xx07112371xx07110555000000231xx0111231xx2371xx0711011131x0011123123123123x3243251123237xxxxxxxxxxx4111332325211213712323332411xxxxxx4132011001110000解得线性方程组解为：123201xxx行阶梯形矩阵行阶梯形方程组线性方程组的系数与常数项与一个矩阵一一对应，把上面的三种变换应用到矩阵上，将矩阵化为阶梯形矩阵，可以方便的解线性方程组。上述过程中各个未知量是否参与计算？没有！下面介绍矩阵的初等变换。定义2.11矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行(列)变换：（1）交换矩阵的两行(列);（2）用一个非零的常数k乘矩阵的一行(列);（3）把矩阵的某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。矩阵的初等行变换与列变换统称初等变换.①交换i行与j行，记作：交换i列与j列，记作：ijccijrr②以非零数k乘i行,记作：以非零数k乘i列,记作：③第j行k倍加到第i行,记作：第j列k倍加到第i列,记作：ijrkrijckc一般irkikr或ikc或ick定义若矩阵A经初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记为：AB※一般A≠B。例如已知矩阵,37413741174316923A对其作如下初等行变换，得1332961341713417147314731473Arr6923374114731341732961473143103301000000147321rr313rr41rr14730131400003210rr143000＝B依其形状的特征称为阶梯形矩阵。2.行阶梯形矩阵（1）行阶梯形矩阵可划出一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数。(2)各非零行的首非零元（从左至右的一个不为零的元素）的列标随着行标的增大而严格增大（或说其列标一定不小于行标）.(1)非零行(元素不全为零的行)的行标小于零行(元素全为零的行)的标号；定义2.12称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵,简称为阶梯形矩阵:（2）行最简矩阵（约化阶梯形矩阵）对例3中的矩阵0000143000143103741B再作如下的初等行变换：阶梯头a11a22a341473013140001000031143rB143301314000100002314rr0005133rr124rr=C称这种特殊形状的阶梯形矩阵为行最简形矩阵。定义2.13称满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵：(1)各非零行的首非零元都是1；(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.定义2.14如果一个矩阵的左上角为单位矩阵，其他位置的元素都为零，则称这个矩阵为标准形矩阵.例如：定理2.3任何矩阵都可以经过单纯的行初等变换化为阶梯形矩阵。200000,00000010010000E100100.100100.1001都是标准形矩阵。定理2.4任何矩阵都可以经过单纯的行初等变换化为简化阶梯形矩阵，任何非零矩阵都可以经过初等变换化为标准形矩阵。证明看下面定理的证明，类似。证明：(对非零矩阵证明)证明：不妨设a11≠0，否则，因aij不全为零，故必有某个akl≠0.通过适当的行互换、列互换可使这个非零元素位于矩阵左上角。用乘第1行，然后将第i行（i=2,…，m）加上第1行的适当倍数，矩阵A化为：111a111231121223223132333123nnnmmmmnaaaaaaaaaaaaaaaa其中A1为(m－1)×(n－1)矩阵。121311naaa222320naaa323330naaa230mmmnaaaA112131111232221211110000000000000000000000rrnrrnrrrnaaaaaaaaaaa再将上矩阵第一列的适当倍数加到其他各列，若A1=0，则定理得证；否则，对A1重复对A的讨论，如此一直变换，可化为：100000类似，依次将第二、三、…、r列的适当倍数加到其他各列，得标准形矩阵。010000000010Er012140243501267A例如：012140243501267000530005300000阶梯形3000151701205简化阶梯形01214024350126700000300015170120510000010002000E矩阵标准形完2.5.2矩阵的秩(Rankofamatrix)矩阵的秩的概念是深入研究线性方程组等问题的重要工具.反应了一个矩阵的内在重要特征，在矩阵的理论与应用中有重要意义。线性方程组完全由系数矩阵与常数项矩阵确定，线性方程组给定后，解的情况客观已定，反应在矩阵中应当是什么呢？──矩阵的秩。下面首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法。2.5.2矩阵的秩(Rankofamatrix)定义1在mn矩阵A中，任取k行k列(1≤k≤min{m,n})，位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式。例如，矩阵134510230110A,取1，3两行和2，4两列,交叉处的元素构成的二阶子式为：1.矩阵的k阶子式35510②在矩阵A中，不为零的k阶子式，其阶数最低为1。注意：①在m×n矩阵A中，k阶子式共有利个；kkmnCC（1）若A＝0，则其任何子式都为零；我们关心的是不为零的最高阶数为多少？（2）若A≠0，则至少有一个一阶子式不为零，考察A的二阶子式，若存在二阶子式不为零,再考察A的三阶子式，如此进行下去,最后必达到A中有r阶子式不为零,而再没有比r更高阶的不为零的子式，这个不为零的子式的最高阶数r就称为矩阵A的秩。2.矩阵的秩定义2.16如果A=(aij)m×n中至少有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式(如果存在r+1阶子式时)都等于零，则称r为矩阵A的秩，记为:r(A)或rank(A)或秩(A)。规定：零矩阵的秩为0。例如，r(En)=000rEA,r(A)=r.r(A)=m(n)时，称矩阵A为行(列)满秩矩阵.n;⑤n阶方阵A可逆的0A②若A中有k阶子式不为零，则r(A)k；若A中所有k阶子式全为零，则r(A)k。④若r(A)=r,则A中所有r+1,r+2,……阶子式=A中所有r－1阶子式?0.?存在≠0.3.矩阵秩的简单性质：①0≤r(A)≤min{m，n},且r(A)=0※r(A)＝r,则r为A中不为零子式的最高阶数。③r(AT)r(A)。r(A)=n.⑥矩阵的秩是唯一的。0.A≥=⑦若矩阵A有子矩阵A1，则r(A1)r(A)。≤(1)按定义求4.矩阵秩的求法对于低阶矩阵或特殊矩阵，可按定义来求秩。用定义求一般矩阵的秩，由高阶到低阶或由低阶到高阶逐个子式进行计算，是较麻烦的方法。例1求矩阵174532321A的秩.解在A中,有二阶子式：12023A的三阶子式只有一个：由低到高求。123235471A123011100111所以，2.rA例2求矩阵23103201250043000000B的秩.解矩阵B的非零行只有3行，由高到低求。所以，B的所有4阶子式全为零。有三阶子式2130320040243.rB※阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数。？(2)初等变换求秩任一矩阵都可以经初等变换化为阶梯形矩阵或标准形矩阵来求秩。即：若则A→B，则r(A)=r(B).定理2.5初等变换不改变矩阵的秩。证明先证明A经一次行初等行变换化为B，有r(A)≤r(B).设r(A)=r,A中有r阶子式D≠0.（2）当时:ikrAB设B中对应位置上的r阶子式为D1，则D1＝－DD1＝D①i,j都在D的行中②i,j都不在D的行中③i在D的行中j不在D的行中B中有D2＝Dr(A)≤r(B).B中D1中的j行换为行①i在D的行中②i不在D的行中D1＝kDD1＝Dr(A)≤r(B).ijrrAB（1）当时:ijkrrAB（3）当时:D1＝D①i,j都在D的行中②i,j都不在D的行中③j在D的行中i不在D的行中④i在D的行中j不在D的行中D1＝DD1＝D＋kD2D2为D中的i行换为j行对应元素D≠0，所以D1，D2不同时为零。r(A)≤r(B).D1＝D所以，A经一次初等行变换化为B，有r(A)≤r(B),由于B经一次初等行变换也可化为A，故有r(B)≤r(A).因此r(A)=r(B).由一次初等行变换化不改变矩阵的秩，可推知经有限次初等行变换化也不改变矩阵的秩。类似可证：A经初等列变换化为B，有r(A)＝r(B)。所以，初等变化不改变矩阵的秩。（1）将A用初等行变换化为行阶梯形矩阵；※初等变化求矩阵A的秩的方法：（2）非零的行数r即为A的秩。或将A用初等变换化为标准形，则“1”的个数为A的秩。例3求矩阵解的秩.8114324114321A811432411432121313rrrr422021104321322rr000021104321122rr000021100501315cc00002110000132422cccc,000000100001()2.rA行阶梯形阵行最简形阵A的标准形解因为：例4求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式.设3205032361,2015316414A32050323612015316414164143205014rr04311A24rr413rr312rr012971101612812323rr424rr000480004843rr00000()3.RAA的