2光学薄膜普遍定理

--光学薄膜的普遍定理第二章光学薄膜设计理论11.膜系的透射定理膜系的透射定理叙述如下：膜系的透射率与光的传播方向无关。这个定理适用于膜层无吸收的情况，同时也适用于膜层有吸收的情况。RLTTLRRR当A=0时，T+R+A=1LRRR当A≠0，（有吸收的膜系有使用方向问题）假设膜系中各层膜的特征矩阵用M1，M2，…，Mk表示，并且对应于两种可能的传播方向的两种乘积用M和表示，那么MM=M1M2M3…MkM=MkMk-1k-2…M1211111aaMCBK2212aa11K在第一种传播方向时，11111KaaB12221KaaCijMaijMa21211212,aaaa11222211,aaaa在第二种传播方向时，022211211011aaaaMCB0122201211aaaaB0112102221aaaaC于是两种传播方向的膜系透射率为21222111211010)(4kkkaaaaT20112101222110)(4aaaaTkk12TT可以看出薄膜光学——基础理论中国科学院长春光学精密机械与物理研究所膜系的透射定理由此可见根据膜系的透射定理，薄膜的透射率从两个方向看时是一样的，所以不可能用薄膜的办法制作单向透光的元件，而反射率、吸收率可一是不同的，人们根据这个原理来制作有些特殊用途的玻璃。当光线倾斜入射到薄膜上的情况考虑薄膜的特征矩阵以及其中的参数：入射角的变化将影响等效导纳和膜层的光学厚度020406080100400450500550600650700自然光45度入射到11层反射膜波长漂移情况%TransmittanceWavelength(nm)对膜层光学厚度的影响导致波长漂移2.普遍的等效定理对于一个任意多层膜系存在如下等效定理：一个任意的多层膜系等效于一个双层膜，但一般来说不能等效为单层膜。一个单层膜的特征矩阵：22211211cossinsincosMMMMiiM单单层膜的矩阵有如下几个特点：4）121122211MMMM2211MM为纯实数1）2112M、M为纯虚数2）2211MM3）但此时一般M11不等于M22，因此多层膜不能和一单层膜等效，只能等效于两层膜。而一个多层膜的特征矩阵是各个单层膜特征矩阵的连乘积。11221212111222212122112121111222112122cossincossinsincossincos11coscossinsin(sincossincos)(sincossincos)coscossinsiniinnMMMininninnnninnn1122MM两层膜1112122122kMMMMMMMM11122122MMMM对于单层膜我们可以用一个矩阵M单来表示，对于一个多层膜可以用一组矩阵的乘积来表示：M多=M1M2M3…Mn，一般来讲M多中的每一层都是无吸收介质时，矩阵M多中m11和m22为纯实数，m12和m21为纯虚数，并且，行列式值为1，但是一般情况下m11和m22并不相等，这一点与单层膜的性质是不同的，所以在数学上就不能等同于一个单层膜。3.对称膜系的等效层对于以中间一层为中心，两边对称安置的多层膜，却具有单层膜特征矩阵的所有特点，在数学上存在着一个等效层，这为等效折射率理论奠定了基础。下面我们就以最简单的对称膜系(pqp)为例说明对称膜系在数学上存在一个等效折射率的概念。这个称膜系的特征矩阵为：ppppppqqqqqqpppppppqppqpiiiiiiMMMMMMcossinsincoscossinsincoscossinsincos22211211pqp:Γ称为等效位相厚度，E为等效折射率1221111/)(cosMMEM，4）121122211MMMM形式上写成单层膜矩阵的样子，产生等效相位厚度和等效折射率概念11122122cossin/cossin/cossin/sincossincossincoscossin/sincospppqqqppppqppppqqqpppiiiMiiiMMiEMMiE可以证明：2211MM为纯实数1）2112M、M为纯虚数2）2211MM3）12sinMi21sinMiE做矩阵的乘法运算得：正是由于第四个关系式成立才使我们有可能引入等效折射率的概念由于对称膜系的待征矩阵和单层膜的特征矩阵具有相同的性质，可以假定以相似的形式来表示：cossinsincos22211211iEEiMMMMMpqp因此它可以用一层特殊的等效单层膜来描写，这层等效膜的折射率E（等效折射率）和位相厚度τ(等效位相厚度)可以由下面方程求得：sinsin,cos21122211iEMEiMMM1221MME所以有：12211sin2coscos2sinsin2211sin2coscos2sinsin22pqpqppqpqqqpqppqppqpqpqpqqqpqpEqpqppqqpsin2sin21cos2coscos1从M=pqp可以推广到任意多层的对称膜系在数学上都可以用一个单层膜的特征矩阵所表示。例如：M=h(u(v(pqp)v)u)h另：最常用的周期膜系如：M=HLHLHLHLHLH一方面表示为:M=H(L(H(L(H)L)H)L)H另一方面可以表示为：M=H/2（H/2LH/2)5H/2的形式H/2LH/2是一个对称单元L/2HL/2等效折射率H/2LH/2对称膜系的等效折射率g—相对波数对称膜系的等效折射率对于某些波长范围M11的绝对值大于1截止区。对应的波长范围是的概念不再存在，这时也是虚数等效折射率为虚数，可以得到即E1cos12211MM对于M11的绝对值小于1的情况：ssiEsEisMiEEiMiEEiMssscossinsincoscossinsincoscossinsincos可以证明：膜系的特征矩阵为：为：的基本周期的特征矩阵令一个周期性对称膜系上式表示一个周期性对称膜系在它的透射带中仍然存在有一个等效折射率，它和基本周期对称组合等效折射率E完全相同，并且它的等效位相厚度等于基本周期的等效位相厚度s倍．对于多个周期的集合：)cos(/)sin()sin()cos(cos/sinsincossEsisiEsEiiEMss2、LHLHLHLE，ΓE’，Γ’E”，Γ”)22()22)(22)(22(22HLHHLHHLHHLHHHLHLHLLHLHLHH可以理解为直接多个单层膜的堆砌：折射率不变，厚度为s倍例1：当对称膜系中各分层的厚度很小时(例如不超过10nm)，等效折射率E几乎是一常数，它介于Np和Nq之间，取决于分层厚度的比值，同时位相厚度和对称膜系实际的总的位相厚度成比例，在大多数情况下其比例常数接近于1。因此这种基本周期的厚度很小的周期性对称膜系非常类似于色散很小的单层均匀薄膜，可以用来替换那些折射率无法实现的膜层，它在减反膜的设计中，得到了实际应用。应用：1、pqp结构①改变p与q的相对厚度，改变E的大小可以获得折射率从np到nq之间任意折射率的等效膜层；“变折射率膜层”②对于通带附近等效的折射率具有较大的色散。改变E的位置“偏周期设计法”很容易证明，这个结果能够推广到由任意多层膜组成的对称膜系。首先划定多层膜的中心三层，它们独自形成一个对称组合，这样便可以用一个单层膜来代换。然后这个等效层连同两侧的两层膜，又被取作第二个对称三层组合，依然用一个单层膜来代换。重复这个过程直到所有膜层被替换，于是最终又形成一个等效单层膜。4、周期性多层膜理论：最简单周期结构的基本单元是两层膜，以两层膜为基本单元重复多次也可构成一种周期性多层膜。整个多层膜的特征矩阵是Ms。应用矩阵理论，两层膜为基本单元膜系矩阵1112122122mmMMMmm得出多层膜的特征矩阵Ms，可以得出如下结论：（1）满足条件的波长，位于膜系的反射带内，其反射率随膜层周期的增加而稳定地提高。1122112mm（2）满足条件的波长，位于膜系的透射带内，其反射率随膜层周期的增加而振荡。1122112mm（3）满足条件的波长，对应着反射带和透射带边界，称之为截止波长。1122112mm对常用的四分之一波堆，在垂直入射时，对中心波长，有011224ndnd022112121122000000niinnnMMMnininn2112121122000000niinnnMMMnininn以这双层膜为基本周期的多层膜，其特征矩阵211212()0()0()ssssnnMMMnn对中心波长处的组合导纳Y及反射率R：01SgBMnC2122SsgnCYnBn1gBMnC2122SsgnCYnBn22120022210021()1()gSsgSnnnYnnRnnnYnn2211212SsgnnYnn2221120212211201()1()SgsSgnnnnnRnnnnn公式表明：当双层膜的周期S固定，R随的比值而增大，当固定时，R随S增大而增大。12nn12nn5、诱导透射定理入射介质RRa吸收膜jknNRb1-RT出射介质ab势透射率：RT1(射出能量)(进入能量)(1)、吸收膜层（通常指金属膜）的最大势透射率，仅决定于吸收膜的光学常数N，d。4321cos/sincoscosaaaaNiiN444333222111ibaaibaaibaaibaa又令：21210bbaaC413241321bbbbaaaaC234123412abbabaabC43433bbaaCjknNNdcos2，其中有关势透射率的几个结论：则：22301max25.021CCCC材料一经确定，只由膜厚d决定，随着膜厚的增加，是非线性地下降。maxmaxjknNmax不同的吸收膜，形态也不一样。(2)、吸收膜的光学常数（N，d）确定以后，膜系的势透射率是出射导纳（Ye=X+iZ）的函数。当然通过调整Ye=X+iZ，使Rb=0，可以找到最佳值，即。max(3)、膜系的实际透射率不仅取决于势透射率，还与入射介质有关。RT1)1(RT当R=0时，此时膜系的实际透射率达到了最大势透射率（也即