2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题【梳理自测】一、合情推理1．(教材习题改编)数列2，5，11，20，x，47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．272．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝底×高2，可推知扇形面积公式S扇等于()A.r22B.l22C.lr2D．不可类比3．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．34．(教材改编)下面几种推理是合情推理的是________．(填序号)①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和是(n－2)·180°.答案：1.B2.C3.B4.①②④◆以上题目主要考查了以下内容：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，个别到一般的推理．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．二、演绎推理∵a＝(1，0)，b＝(0，－1)，∴a·b＝(1，0)·(0，－1)＝1×0＋0×(－1)＝0.∴a⊥b.大前提：若两个向量的数量积为零，则这两个向量垂直；小前提：a·b＝0；结论：a⊥b．◆此题主要考查了以下内容：(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．【指点迷津】1．一个防范合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．2．两个要点(1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性．(2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．考向一归纳推理例题1(1)(2014·山东高考专家原创卷)已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律推测这个数列的第2012项是________．(2)(2014·济宁模拟)给出下列命题：-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----命题1：点(1，1)是直线y＝x与双曲线y＝1x的一个交点；命题2：点(2，4)是直线y＝2x与双曲线y＝8x的一个交点；命题3：点(3，9)是直线y＝3x与双曲线y＝27x的一个交点；……请观察上面的命题，猜想出命题n(n是正整数)为：________．【审题视点】(1)把前10项分组归纳，分析归纳每一组数的变化规律及个数．(2)总结点的变化规律，再看直线和曲线的变化规律，写出此(语言)命题相似的内容．(1)这个数列的前10项按如下规则分组．第一组：11；第二组：21，12；第三组：31，22，13；第四组：41，32，23，14；…；第n组：n1，n－12，n－23，…，n－r＋1r，…，1n.由不等式n（n＋1）2＜2012，即n(n＋1)＜4024，得n≤62(n∈N*)，且当n＝62时，n（n＋1）2＝1953，2012－1953＝59，即这个数列的第2012项是上述分组中的第63组中的第59个数，即第2012项是63－59＋159＝559.(2)点的横坐标是命题“n”的值，纵坐标为n2，直线的斜率为n，曲线的系数为n3，总结为点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝n3x的一个交点．【答案】(1)559(2)点(n，n2)是直线y＝nx与双曲线y＝n3x的一个交点【类题通法】所谓归纳，就是由特殊到一般，因此在归纳时就要分析所给条件之间的变化规律，从而得到一般结论．变式训练1．(2014·青岛模拟)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般结论为________．解析：观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－1（n＋1）2n，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n＋2n（n＋1）×12n.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----答案：31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＋…＋n＋2n（n＋1）×12n＝1－1（n＋1）2n(n∈N*)考向二类比推理例题2(2014·湖北省八校高三联考)已知△ABC的顶点A，B分别是离心率为e的圆锥曲线x2m＋y2n＝1的焦点，顶点C在该曲线上；一同学已正确地推得：当m＞n＞0时有e(sinA＋sinB)＝sinC．类似地，当m＞0，n＜0时，有________．【审题视点】把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三角形推导结论．当m＞n＞0时，x2m＋y2n＝1为椭圆，|AC|＋|BC|＝2m，由正弦定理知，|AC|sinB＝|BC|sinA＝|AB|sinC⇒|AC|＋|BC|sinB＋sinA＝|AB|sinC⇒2msinA＋sinB＝2csinC⇒e＝cm＝sinCsinA＋sinB⇒e(sinA＋sinB)＝sinC．当m＞0，n＜0时，x2m＋y2n＝1为双曲线，||AC|－|BC||＝2m，由正弦定理知，|AC|sinB＝|BC|sinA＝|AB|sinC⇒||AC|－|BC|||sinB－sinA|＝|AB|sinC⇒2m|sinA－sinB|＝2csinC⇒e＝cm＝sinC|sinA－sinB|⇒e|sinA－sinB|＝sinC.【答案】e|sinA－sinB|＝sinC【类题通法】(1)类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法，是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．(2)熟悉常见的类比对象①平面与空间的类比-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积……②等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列两项之和两项之积两项之差两项之比前n项之和前n项之积……变式训练2．(2014·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}bn＝a1＋a2＋…＋ann也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝c1＋c2＋…＋cnnB．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝ncn1＋cn2＋…＋cnnnD．dn＝nc1·c2·…·cn解析：选D.若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋n（n－1）2d，∴bn＝a1＋（n－1）2d＝d2n＋a1－d2，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----cn1·q1＋2＋…＋(n－1)＝cn1·qn（n－1）2，∴dn＝nc1·c2·…·cn＝c1·qn－12，即{dn}为等比数列，故选D.考向三演绎推理例题3(2014·西安长安一中质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝12.(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．【审题视点】(1)利用an＝Sn－Sn－1推导1Sn的递推关系，从而求an.【典例精讲】(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以1Sn－1Sn－1＝2，又1S1＝1a1＝2，故1Sn是首项为2，公差为2的等差数列．(2)由(1)可得1Sn＝2n，∴Sn＝12n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝12n－12（n－1）＝12n－2n2，对n＝1不成立，所以an＝12（n＝1），12n－2n2（n≥2）.【类题通法】(1)演绎推理的结构演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．(2)演绎推理的理论依据-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.变式训练3．(2013·高考重庆卷)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋.(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.解析：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋20×192×5＝1010.合情推理与演绎推理的方法探究典型例题(2013·高考全国新课标卷)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1，2，3，….若b1c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋an2，cn＋1＝bn＋an2，则()A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列【方法分析】①题目条件：一系列△AnBnCn的三边大小关系和递推关系．②解题目标：判断该系列三角形的面积S1，S2，…，Sn的单调变化．③关系探究：(ⅰ)由b1＞c1，b1＋c1＝2a1判断第一个三角形A1B1C1的三边a1，b1，c1的大小关系．(ⅱ)由递推关系an＋1、bn＋1、cn＋1推导b2、c2与a1的关系．(ⅲ)视a1为定值，推导an、bn与a1的大小关系．(ⅳ)猜想Sn最大值时的条件．【解题过程】在△A1B1C1中，b1c1，b1＋c1＝2a1，∴b1a1c1.在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝c1＋a12，c2＝b1＋a12，b2＋c2＝2a1，∴c1b2a1c2b1.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝c2＋a22＝c2＋a12，c3＝b2＋a22＝b2＋a12，b3＋c3＝2a1，∴a1b3c2，b2c3a1，∴c1b2c3a1b3c2b1.由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cn＋bn＝