2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第2讲函数的单调性与最大(小)值

第2讲函数的单调性与最大(小)值一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)内单调递减的函数是()．A．y＝x2B．y＝|x|＋1C．y＝－lg|x|D．y＝2|x|解析对于C中函数，当x0时，y＝－lgx，故为(0，＋∞)上的减函数，且y＝－lg|x|为偶函数．答案C2．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)＜f(1)的实数x的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－1,0)∪(0,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析∵f(x)在R上为减函数且f(|x|)＜f(1)，∴|x|＞1，解得x＞1或x＜－1.答案D3．若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增解析∵y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，∴a0，b0，∴y＝ax2＋bx的对称轴方程x＝－b2a0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．答案B4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于()．A．2B．3C．6D．9解析f(1)＝f(0＋1)＝f(0)＋f(1)＋2×0×1＝f(0)＋f(1)，∴f(0)＝0.f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋f(1)－2，∴f(－1)＝0.f(－1)＝f(－2＋1)＝f(－2)＋f(1)＋2×(－2)×1＝f(－2)＋f(1)－4，∴f(－2)＝2.f(－2)＝f(－3＋1)＝f(－3)＋f(1)＋2×(－3)×1＝f(－3)＋f(1)－6，∴f(－3)＝6.答案C5．函数y＝－x2＋2x－3(x＜0)的单调增区间是()A．(0，＋∞)B．(－∞，1]C．(－∞，0)D．(－∞，－1]解析二次函数的对称轴为x＝1，又因为二次项系数为负数，拋物线开口向下，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(－∞，0)．答案C6．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)＝fx，fx≤K，K，fxK，取函数f(x)＝2－|x|，当K＝12时，函数fK(x)的单调递增区间为()．A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)解析f12(x)＝2－|x|，2－|x|≤12，12，2－|x|12⇔f12(x)＝12|x|，x≤－1或x≥1，12，－1x1.f12(x)的图象如右图所示，因此f12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．答案C二、填空题7．奇函数f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝0，且在区间[0,3]与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式(x2－4)f(x)0的解集为________．解析当x2－40，即x－2或x2时，f(x)0.由f(x)的图像知，x－4或2x4；当x2－40，即－2x2时，f(x)0，则－2x0.故x∈(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)．答案(－∞，－4)∪(－2,0)∪(2,4)8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是_______．解析y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3xx0，x2－3xx≤0.作出该函数的图像，观察图像知递增区间为0，32.答案0，329．已知函数f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________．解析①当a＝0时，f(x)＝－12x＋5在(－∞，3)上为减函数；②当a＞0时，要使f(x)＝2ax2＋4(a－3)x＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则对称轴x＝3－aa必在x＝3的右边，即3－aa≥3，故0＜a≤34；③当a＜0时，不可能在区间(－∞，3)上恒为减函数．综合知：a的取值范围是0，34.答案0，3410．已知函数f(x)＝e－x－2，x≤0，2ax－1，x0(a是常数且a0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)0在12，＋∞上恒成立，则a的取值范围是a1；④对任意的x10，x20且x1≠x2，恒有fx1＋x22fx1＋fx22.其中正确命题的序号是____________．解析根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)0在12，＋∞上恒成立，则2a×12－10，a1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x10，x20且x1≠x2，恒有fx1＋x22fx1＋fx22成立，故④正确．答案①③④三、解答题11．求函数y＝a1－x2(a0且a≠1)的单调区间．解当a1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0]上是增函数；当0a1时，函数y＝a1－x2在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．12．已知函数f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)当a＝0时，f(x)＝x2(x≠0)为偶函数；当a≠0时，f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)设x2x1≥2，则f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，由x2x1≥2，得x1x2(x1＋x2)16，x1－x20，x1x20.要使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f(x1)－f(x2)0，即x1x2(x1＋x2)－a0恒成立，则a≤16.13．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.(1)若ab0，判断函数f(x)的单调性；(2)若ab0，求f(x＋1)f(x)时的x的取值范围．解(1)当a0，b0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增；当a0，b0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x0.(i)当a0，b0时，32x－a2b，解得xlog32－a2b；(ii)当a0，b0时，32x－a2b，解得xlog32－a2b.14．已知函数f(x)在(－1,1)上有定义，f12＝－1，当且仅当0x1时，f(x)0，且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，试证明：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1,1)上单调递减．证明(1)函数f(x)的定义域为(－1,1)，再由f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy，令x＝y＝0，得f(0)＝0，令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝fx－x1－x2＝f(0)＝0，∴f(x)＝－f(－x)，即f(x)为奇函数．(2)先证f(x)在(0,1)上单调递减．令0x1x21，则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝fx2－x11－x1x2.∵0x1x21，∴x2－x10,1－x1x20，即x2－x11－x2x10.又∵(x2－x1)－(1－x2x1)＝(x2－1)(x1＋1)0，∴x2－x11－x2x1，∴0x2－x11－x2x11.由题意，知fx2－x11－x1x20，即f(x2)f(x1)，∴f(x)在(0,1)上单调递减，又f(x)为奇函数且f(0)＝0，∴f(x)在(－1,1)上单调递减.