2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设x∈R，则“x＞12”是“2x2＋x－1＞0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件[来源:C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析因为{x|2x2＋x－10}＝xx12或x－1，所以xx12x|2x2＋x－10}，故选A.答案A2．已知命题p：x2－30；命题q：log2x21，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由x2－30得－3x3，log2x21得x2或x－2.∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．答案D3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的()．A．既不充分也不必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．充要条件解析∵x∈[0，1]时，f(x)是增函数，又∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数．当x∈[3，4]时，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)．∴x∈[3，4]时，f(x)是减函数，充分性成立．反之：x∈[3，4]时，f(x)是减函数，x－4∈[－1，0]，∵T＝2，∴f(x)＝f(x－4)，∴x∈[－1，0]时，f(x)是减函数，∵y＝f(x)是偶函数，∴x∈[0，1]时，f(x)是增函数，必要性亦成立．答案D4．“m＝12”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()．A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析由两直线垂直的充要条件知(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或12，∴m＝12时，两直线垂直，反过来不成立．答案B5．下列命题错误的是()A．命题“若lgx＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则lgx≠0”B．若p且q为假命题，则p、q均为假命题C．命题p：存在实数x，使得sinx1，则綈p：对任意的实数x，均有sinx≤1D．“x2”是“1x12”的充分不必要条件解析：选项B：若p且q为假命题，则p、q全假或p、q一真一假，B错误；选项D：1x12，则1x－12＝2－x2x0，解得x0或x2，所以“x2”是“1x12”的充分不必要条件；选项A、C显然正确，故选B.答案：B6．已知p：2x－1≤1，q：(x－a)(x－a－1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.0，12B.0，12C．(－∞，0)∪12，＋∞D．(－∞，0)∪12，＋∞解析：令A＝{x|2x－1≤1}，得A＝x12≤x≤1，令B＝{x|(x－a)(x－a－1)≤0}，得B＝{x|a≤x≤a＋1}，若p是q的充分不必要条件，则AB，需a≤12，a＋11或a12，a＋1≥1⇒0≤a≤12，故选A.答案：A二、填空题7．“m14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．解析x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤14.答案充分不必要8．若“x2－2x－80”是“xm”的必要不充分条件，则m的最大值为________．解析由x2－2x－80得x4或x－2，由条件可知m≤－2，∴m的最大值为－2.答案－29．已知集合A＝x122x8，x∈R，B＝{x|－1xm＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是________．解析A＝x122x8，x∈R＝{x|－1x3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴m＋13，即m2.答案(2，＋∞)10．下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真②“ab”与“a＋cb＋c”不等价③“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真其中说法不正确的序号是________．解析①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②由不等式的性质可知，“ab”与“a＋cb＋c”等价，故②错误；③“a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0，则a2＋b2≠0”，故③错误；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性一致，故④正确．答案①②③三、解答题11．已知命题P：“若ac≥0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题P的否命题；(2)判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论．解(1)命题P的否命题为：“若ac＜0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题P的否命题是真命题．证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．12．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明充分性：若a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c，∴ax2＋bx＋c＝0化为ax2－(a＋c)x＋c＝0，∴(ax－c)(x－1)＝0，∴当x＝1时，ax2＋bx＋c＝0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.必要性：若方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a＋b＋c＝0.综上可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.13．已知全集U＝R，非空集合A＝x|x－2x－（3a＋1）0，B＝x|x－a2－2x－a0.(1)当a＝12时，求(∁UB)∩A；(2)命题p：x∈A，命题q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．解(1)当a＝12时，A＝xx－2x－520＝x2x52，B＝xx－94x－120＝x12x94，∴∁UB＝xx≤12或x≥94.∴(∁UB)∩A＝x94≤x52.(2)∵a2＋2a，∴B＝{x|axa2＋2}．①当3a＋12，即a13时，A＝{x|2x3a＋1}．∵p是q的充分条件，∴A⊆B.∴a≤2，3a＋1≤a2＋2，即13a≤3－52.②当3a＋1＝2，即a＝13时，A＝∅，不符合题意；③当3a＋12，即a13时，A＝{x|3a＋1x2}，由A⊆B得a≤3a＋1，a2＋2≥2，∴－12≤a13.综上所述，实数a的取值范围是－12，13∪13，3－52.14．已知条件p：|5x－1|a，条件q：12x2－3x＋10，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A，B构造命题：“若A，则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题．[来源:学。科。网Z。X。解条件p：即5x－1－a或5x－1a，∴x1－a5或x1＋a5，条件q：2x2－3x＋10，∴x12或x1.令a＝4，即p：x－35或x1.此时必有p⇒q成立，反之不然，故可以选取的一个实数是a＝4，A为p，B为q.对应的命题是若p则q.(答案不唯一)