2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第6讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数一、选择题1．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是()．A．0a1B．0a2，a≠1C．1a2D．a≥2解析因为y＝x2－ax＋1是开口向上的二次函数，从而有最小值4－a24，故要使函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a1，且4－a240，得1a2，故选C.答案C2．已知实数a＝log45，b＝120，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为()A．bcaB．bacC．cabD．cba解析由题知，a＝log451，b＝120＝1，c＝log30.40，故cba.答案D3．设f(x)＝lg(21－x＋a)是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是()．A．(－1,0)B．(0,1)C．(－∞，0)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝lgx＋11－x，由f(x)＜0得，0＜x＋11－x＜1，∴－1＜x＜0.答案A4．已知a＝5log23.4，b＝5log43.6，c＝15log30.3则()．A．abcB．bacC．acbD．cab解析∵15log30.3＝5log3103，1log23.42,0log43.61,1log31032，又log23.4log2103log3103，∴log23.4log3103log43.6，∴5log23.45log31035log43.6，故选C.答案C5．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋3)(a0且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x1x2≤a2时，f(x1)－f(x2)0，则实数a的取值范围为()．A．(0,1)∪(1,3)B．(1,3)C．(0,1)∪(1,23)D．(1,23)解析“对任意的x1，x2，当x1x2≤a2时，f(x1)－f(x2)0”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤a2时递减，从而a1，ga20.由此得a的取值范围为(1,23)．故选D.答案D6．已知函数f(x)＝|lgx|，若0ab，且f(a)＝f(b)，则a＋2b的取值范围是()．A．(22，＋∞)B．[22，＋∞)C．(3，＋∞)D．[3，＋∞)解析作出函数f(x)＝|lgx|的图象，由f(a)＝f(b)，0ab知0a1b，－lga＝lgb，∴ab＝1，∴a＋2b＝a＋2a，由函数y＝x＋2x的单调性可知，当0x1时，函数单调递减，∴a＋2b＝a＋2a3.故选C.答案C二、填空题7．对任意非零实数a，b，若a⊗b的运算原理如图所示，则(log128)⊗13－2＝________.解析框图的实质是分段函数，log128＝－3，13－2＝9，由框图可以看出输出9－3＝－3.答案－3.8．设g(x)＝ex，x≤0，lnx，x＞0，则gg12＝________.解析g12＝ln12＜0，∴gg12＝gln12＝eln12＝12.答案129．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.解析∵log2x≤2，∴0＜x≤4.又∵A⊆B，∴a＞4，∴c＝4.答案410．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．在实数轴R(箭头向右)上[x]是在点x左侧的第一个整数点，当x是整数时[x]就是x.这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝________.解析当1≤n≤2时，[log3n]＝0，当3≤n32时，[log3n]＝1，…，当3k≤n3k＋1时，[log3n]＝k.故[log31]＋[log32]＋[log33]＋[log34]＋…＋[log3243]＝0×2＋1×(32－3)＋2×(33－32)＋3×(34－33)＋4×(35－34)＋5＝857.答案857三、解答题11．已知函数f(x)＝log12(a2－3a＋3)x.(1)判断函数的奇偶性；(2)若y＝f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．解(1)函数f(x)＝log12(a2－3a＋3)x的定义域为R.又f(－x)＝log12(a2－3a＋3)－x＝－log12(a2－3a＋3)x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数．(2)函数f(x)＝log12(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则y＝(a2－3a＋3)x在(－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，知a2－3a＋31，解得a1或a2.所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．12．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．解y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.∴f(t)＝4t－3t2＝－3t－232＋43(t＞8或0＜t＜2)．由二次函数性质可知：当0＜t＜2时，f(t)∈0，43，当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，当2x＝t＝23，即x＝log223时，f(x)max＝43.综上可知：当x＝log223时，f(x)取到最大值为43，无最小值．13．已知函数f(x)＝logax＋bx－b(a＞0，b＞0，a≠1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性；解(1)令x＋bx－b＞0，解得f(x)的定义域为(－∞，－b)∪(b，＋∞)．(2)因f(－x)＝loga－x＋b－x－b＝logax＋bx－b－1＝－logax＋bx－b＝－f(x)，故f(x)是奇函数．(3)令u(x)＝x＋bx－b，则函数u(x)＝1＋2bx－b在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数，所以当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是增函数；当a＞1时，f(x)在(－∞，－b)和(b，＋∞)上是减函数．14．已知函数f(x)＝logax＋1x－1，(a0，且a≠1)．(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝logax＋1x－1在定义域上是奇函数；(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝logax＋1x－1logamx－127－x恒成立，求m的取值范围．解(1)由x＋1x－10，解得x－1或x1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga－x＋1－x－1＝logax－1x＋1＝logax＋1x－1－1＝－logax＋1x－1＝－f(x)，∴f(x)＝logax＋1x－1在定义域上是奇函数．(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝logax＋1x－1logamx－127－x恒成立，①当a1时，∴x＋1x－1mx－127－x0对x∈[2,4]恒成立．∴0m(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]则g(x)＝－x3＋7x2＋x－7，g′(x)＝－3x2＋14x＋1＝－3x－732＋523，∴当x∈[2,4]时，g′(x)0.∴y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)min＝g(2)＝15.∴0m15.②当0a1时，由x∈[2,4]时，f(x)＝logax＋1x－1logamx－127－x恒成立，∴x＋1x－1mx－127－x对x∈[2,4]恒成立．∴m(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，g(x)max＝g(4)＝45，∴m45.∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).