2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章3.3

§3.3导数的综合应用1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．2．不等式问题(1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最值问题．(2)求解不等式恒成立问题时，可以考虑将参数分离出来，将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)连续函数在闭区间上必有最值．(√)(2)函数f(x)＝x2－3x＋2的极小值也是最小值．(√)(3)函数f(x)＝x＋x－1和g(x)＝x－x－1都是在x＝0时取得最小值－1.(×)(4)函数f(x)＝x2lnx没有最值．(×)(5)已知x∈(0，π2)，则sinxx.(×)(6)若a2，则方程13x3－ax2＋1＝0在(0,2)上没有实数根．(×)2．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．任意x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点答案D解析A错，因为极大值未必是最大值．B错，因为函数y＝f(x)与函数y＝f(－x)的图像关于y轴对称，－x0应是f(－x)的极大值点．C错，函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图像关于x轴对称，x0应为－f(x)的极小值点．D对，函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图像关于原点对称，－x0应为y＝－f(－x)的极小值点．3．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图像分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为()A．1B.12C.52D.22答案D解析|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－lnx的最小值，h′(x)＝2x－1x＝2x2－1x，显然x＝22是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝22.4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是__________．答案(－2,2)解析由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)0，即(a＋2)(a－2)0，故a∈(－2,2)．5．若f(x)＝lnxx，0abe，则f(a)、f(b)的大小关系为________．答案f(a)f(b)解析f′(x)＝1－lnxx2，当x∈(0，e)时，1－lnxx20，即f′(x)0，∴f(x)在(0，e)上为增函数，又∵0abe，∴f(a)f(b)．题型一利用导数证明不等式例1已知定义在正实数集上的函数f(x)＝12x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b，其中a0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点处的切线相同．(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求证：f(x)≥g(x)(x0)．思维启迪(1)设公共点为(x0，y0)，则f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)可得a，b的关系；(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，求F(x)的最值．(1)解设两曲线的公共点为(x0，y0)，f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝3a2x，由题意知f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)，即12x20＋2ax0＝3a2lnx0＋b，x0＋2a＝3a2x0.由x0＋2a＝3a2x0，得x0＝a或x0＝－3a(舍去)．即有b＝12a2＋2a2－3a2lna＝52a2－3a2lna.令h(t)＝52t2－3t2lnt(t0)，则h′(t)＝2t(1－3lnt)．于是当t(1－3lnt)0，即0te31时，h′(t)0；当t(1－3lnt)0，即te31时，h′(t)0.故h(t)在(0，e31)上为增函数，在(e31，＋∞)上为减函数，于是h(t)在(0，＋∞)上的最大值为h(e31)＝32e32，即b的最大值为32e32.(2)证明设F(x)＝f(x)－g(x)＝12x2＋2ax－3a2lnx－b(x0)，则F′(x)＝x＋2a－3a2x＝x－ax＋3ax(x0)．故F(x)在(0，a)上为减函数，在(a，＋∞)上为增函数．于是F(x)在(0，＋∞)上的最小值是F(a)＝F(x0)＝f(x0)－g(x0)＝0.故当x0时，有f(x)－g(x)≥0，即当x0时，f(x)≥g(x)．思维升华利用导数证明不等式的步骤(1)构造新函数，并求其单调区间；(2)判断区间端点函数值与0的关系；(3)判断定义域内函数值与0的大小关系，证不等式．当0xπ2时，求证：tanxx＋x33.证明设f(x)＝tanx－x＋x33，则f′(x)＝1cos2x－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx＋x)．因为0xπ2，所以xtanx(简单进行证明亦可)，所以f′(x)0，即x∈0，π2时，f(x)为增函数．所以x∈0，π2时，f(x)f(0)．而f(0)＝0，所以f(x)0，即tanx－x＋x330.故tanxx＋x33.题型二利用导数求参数的取值范围例2已知函数f(x)＝lnx＋ax(a∈R)，g(x)＝1x.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围．思维启迪(1)解f′(x)＝0，根据函数值的变化得到单调区间、极值；(2)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，通过F(x)的单调性和函数值的变化研究f(x)、g(x)的交点情况．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－lnx＋ax2.令f′(x)＝0，得x＝e1－a，当x∈(0，e1－a)时，f′(x)0，f(x)是增函数；当x∈(e1－a，＋∞)时，f′(x)0，f(x)是减函数．所以函数f(x)的单调递增区间为(0，e1－a]，单调递减区间为[e1－a，＋∞)，极大值为f(x)极大值＝f(e1－a)＝ea－1，无极小值．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝lnx＋a－1x，则F′(x)＝－lnx＋2－ax2.令F′(x)＝0，得x＝e2－a；令F′(x)0，得xe2－a；令F′(x)0，得xe2－a，故函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，＋∞)上是减函数．①当e2－ae2，即a0时，函数F(x)在区间(0，e2－a]上是增函数，在区间[e2－a，e2]上是减函数，F(x)max＝F(e2－a)＝ea－2.又F(e1－a)＝0，F(e2)＝a＋1e20，由图像，易知当0xe1－a时，F(x)0；当e1－ax≤e2，F(x)0，此时函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上有1个公共点．②当e2－a≥e2，即a≤0时，F(x)在区间(0，e2]上是增函数，F(x)max＝F(e2)＝a＋1e2.若F(x)max＝F(e2)＝a＋1e2≥0，即－1≤a≤0时，函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上只有1个公共点；若F(x)max＝F(e2)＝a＋1e20，即a－1时，函数f(x)的图像与函数g(x)的图像在区间(0，e2]上没有公共点．综上，满足条件的实数a的取值范围是[－1，＋∞)．思维升华函数零点或函数图像交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图像，根据零点或图像的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a0时，对x∈R，有f′(x)0，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a0时，由f′(x)0，解得x－a或xa.由f′(x)0，解得－axa，∴当a0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．题型三生活中的优化问题例3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3x6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维启迪(1)由x＝5时y＝11求a；(2)建立商场每日销售该商品所获利润和售价x的函数关系，利用导数求最值．解(1)因为x＝5时，y＝11，所以a2＋10＝11，a＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝2x－3＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3x6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．思维升华在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益．现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加，且资金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数f(x)模型制订奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数f(x)模型的基本要求；(2)现有两个奖励函数模型：①y＝x150＋2；②y＝4lgx－3.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？解(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，则公司对函数模型的基本要求是当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，f(x)≤9恒成立，f(x)≤x5恒成立．(2)①对于函数模型f(x)＝x150＋2，当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝1000150＋2＝2639.所以f(x)≤9恒成立．因为函数fxx＝1150＋2x在[10,1000]上是减函数，所以[fxx]max＝1150＋1515.从而fxx＝1150＋2x≤15不恒成立，即f(x)≤x5不恒成立．故该函数模型不符合公司要求．②对于函数模型f(x)＝4lgx－3，当x∈[10,1000]时，f(x)是增函数，则f(x)max＝f(1000)＝4lg1000－3＝9.所以f(