2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章2.4

§2.4二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)图像定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域4ac－b24a，＋∞－∞，4ac－b24a单调性在x∈－∞，－b2a上单调递减；在x∈－b2a，＋∞上单调递增在x∈－∞，－b2a上单调递增；在x∈－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图像关于x＝－b2a对称2．幂函数(1)定义：如果一个函数，底数是自变量，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．(2)幂函数的图像(3)幂函数的性质比较y＝xy＝x2y＝x3y＝x21y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.(×)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×)(3)幂函数的图像都经过点(1,1)和点(0,0)．(×)(4)当n0时，幂函数y＝xn是定义域上的增函数．(×)(5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝±22.(×)(6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×)2．(2013·重庆)3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为()A．9B.92C．3D.322答案B解析因为3－aa＋6＝18－3a－a2＝－a＋322＋814，所以当a＝－32时，3－aa＋6的值最大，最大值为92.3．函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(－5，－3)上()A．先减后增B．先增后减C．单调递减D．单调递增答案D解析由f(x)为偶函数可得m＝0，∴f(x)＝－x2＋3，∴f(x)在区间(－5，－3)上单调递增．4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．答案[1,2]解析y＝x2－2x＋3的对称轴为x＝1.当m1时，y＝f(x)在[0，m]上为减函数．∴ymax＝f(0)＝3，ymin＝f(m)＝m2－2m＋3＝2.∴m＝1，无解．当1≤m≤2时，ymin＝f(1)＝12－2×1＋3＝2，ymax＝f(0)＝3.当m2时，ymax＝f(m)＝m2－2m＋3＝3，∴m＝0或m＝2，无解．∴1≤m≤2.5．函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是________．答案2解析f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数⇒m2－m－1＝1⇒m＝－1或m＝2.又x∈(0，＋∞)上f(x)为增函数，∴m0，故m＝2.题型一二次函数的图像和性质例1已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．思维启迪对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈0，6]x2－2x＋3，x∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．思维升华(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．(1)二次函数的图像过点(0,1)，对称轴为x＝2，最小值为－1，则它的解析式是__________________．答案y＝12(x－2)2－1(2)若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是____________．答案(－∞，－3]解析∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－m4，∴－m4≤－1，∴m≥4.又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]．题型二二次函数的应用例2已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的范围．思维启迪利用f(x)的最小值为f(－1)＝0可列两个方程求出a、b；恒成立问题可以通过求函数最值解决．解(1)由题意有f(－1)＝a－b＋1＝0，且－b2a＝－1，∴a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)f(x)x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x2＋x＋1k在区间[－3，－1]上恒成立．设g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，则g(x)在[－3，－1]上递减．∴g(x)min＝g(－1)＝1.∴k1，即k的取值范围为(－∞，1)．思维升华有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图像是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．解(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以当x＝1时，f(x)取得最小值1；当x＝－5时，f(x)取得最大值37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为直线x＝－a，因为y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a≤－5或－a≥5，即a≤－5或a≥5.故a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．题型三幂函数的图像和性质例3(1)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xnn32(n∈Z)的图像关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或2(2)若(2m＋1)21(m2＋m－1)21，则实数m的取值范围是()A.－∞，－5－12B.5－12，＋∞C．(－1,2)D.5－12，2思维启迪(1)由幂函数的定义可得n2＋2n－2＝1，再利用f(x)的单调性、对称性求n；(2)构造函数y＝x21，利用函数单调性求m范围．答案(1)B(2)D解析(1)由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意，故选B.(2)因为函数y＝x21的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于2m＋1≥0，m2＋m－1≥0，2m＋1m2＋m－1.解2m＋1≥0，得m≥－12；解m2＋m－1≥0，得m≤－5－12或m≥5－12.解2m＋1m2＋m－1，得－1m2，综上5－12≤m2.思维升华(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的图像理解函数的对称性、单调性．已知幂函数f(x)＝x12)(mm(m∈N＋)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)f(a－1)的实数a的取值范围．解(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m(m＋1)为偶数．∴函数f(x)＝x12)(mm(m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f(x)经过点(2，2)，∴2＝212)(mm，即221＝212)(mm.∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2.又∵m∈N＋，∴m＝1.∴f(x)＝x21.由f(2－a)f(a－1)得2－a≥0，a－1≥02－aa－1.解得1≤a32.∴a的取值范围为[1，32)．分类讨论思想在函数中的应用典例：(12分)已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1(a为实常数)．(1)若a＝1，作出函数f(x)的图像；(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．思维启迪(1)因f(x)的表达式中含|x|，故应分类讨论，将原表达式化为分段函数的形式，然后作图．(2)因a∈R，而a的取值决定f(x)的表现形式，或为直线或为抛物线，若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况，故应分类讨论解决．规范解答解(1)当a＝1时，f(x)＝x2－|x|＋1＝x2＋x＋1，x0x2－x＋1，x≥0.[3分]作图(如右图所示)[5分](2)当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2－x＋2a－1.[6分]若a＝0，则f(x)＝－x－1在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3.[7分]若a≠0，则f(x)＝ax－12a2＋2a－14a－1，f(x)图像的对称轴是直线x＝12a.当a0时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.当012a1，即a12时，f(x)在区间[1,2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a－2.当1≤12a≤2，即14≤a≤12时，g(a)＝f12a＝2a－14a－1.当12a2，即0a14时，f(x)在区间[1,2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a－3.[11分]综上可得，g(a)＝6a－3，a142a－14a－1，14≤a≤12.3a－2，a12[12分]温馨提醒本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法，在二次函数最值问题的讨论中，一是要对二次项系数进行讨论，二是要对对称轴进行讨论．在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，绝不无原则的分类讨论．方法与技巧1．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图像数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图像、性质求解．2．幂函数y＝xα(α∈R)图像的特征α0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立．失误与防范1．对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况．2．幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性