2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章4.4

§4.4三角函数的图像和性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图像中，五个关键点：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图像定义域RR{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域[－1,1][－1,1]R单调性[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上递增；[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上递减[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上递增；[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上递减(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上递增最值x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)(π2＋kπ，0)(k∈Z)(kπ2，0)(k∈Z)对称轴方程x＝π2＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(√)(2)y＝sinx在x∈[0，π2]上是增函数．(√)(3)y＝cosx在第一、二象限上是减函数．(×)(4)y＝tanx在整个定义域上是增函数．(×)(5)y＝ksinx＋1(x∈R)，则ymax＝k＋1.(×)(6)若sinx22，则xπ4.(×)2．(2012·福建)函数f(x)＝sinx－π4的图像的一条对称轴是()A．x＝π4B．x＝π2C．x＝－π4D．x＝－π2答案C解析方法一∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x－π4＝kπ＋π2，k∈Z，∴x＝kπ＋3π4，k∈Z.取k＝－1，则x＝－π4.方法二用验证法．x＝π4时，y＝sinπ4－π4＝0，不合题意，排除A；x＝π2时，y＝sinπ2－π4＝22，不合题意，排除B；x＝－π4时，y＝sin－π4－π4＝－1，符合题意，C项正确；x＝－π2时，y＝sin－π2－π4＝－22，不合题意，故D项也不正确．3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，且fπ2f(π)，则下列结论正确的是()A．f1112π＝－1B．f7π10fπ5C．f(x)是奇函数D．f(x)的单调递增区间是kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)答案D解析∵f(x)≤fπ6对x∈R恒成立，∴2×π6＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z.∵fπ2f(π)，sin(π＋φ)＝－sinφsin(2π＋φ)＝sinφ，sinφ0.∴φ＝2kπ＋π6，k∈Z.不妨取φ＝π6，f11π12＝sin2π＝0，∴A错；∵f7π10＝sin7π5＋π6＝sin47π30＝－sin17π300，fπ5＝sin2π5＋π6＝sin17π300，∴B错；∵f(－x)≠－f(x)，∴C错；∵2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z，kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z，∴D对．故选D.4．(2013·湖北)将函数y＝3cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是()A.π12B.π6C.π3D.5π6答案B解析y＝3cosx＋sinx＝2sin(x＋π3)向左平移m个单位长度后得到y＝2sin(x＋π3＋m)，它关于y轴对称可得sin(π3＋m)＝±1，∴π3＋m＝kπ＋π2，k∈Z，∴m＝kπ＋π6，k∈Z，∵m0，∴m的最小值为π6.5．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx＋2cosx取得最大值，则cosθ＝________.答案255解析由f(x)＝sinx＋2cosx可得f(x)＝5sin(x＋φ)，其中tanφ＝2，当x＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)时函数f(x)取得最大值，所以cosθ＝cosπ2－φ＋2kπ＝sinφ＝255.题型一求三角函数的定义域和最值例1(1)(2012·山东)函数y＝2sinπx6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－3B．0C．－1D．－1－3(2)函数y＝1tanx－1的定义域为______________________．思维启迪求函数的定义域可利用三角函数的图像或数轴；求函数最值或值域时要利用图像、三角变换、二次函数等知识．答案(1)A(2){x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}解析(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x－π3≤7π6，∴sinπ6x－π3∈－32，1.∴y∈[]－3，2，∴ymax＋ymin＝2－3.(2)要使函数有意义，必须有tanx－1≠0x≠π2＋kπ，k∈Z，即x≠π4＋kπ，k∈Zx≠π2＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x|x≠π4＋kπ且x≠π2＋kπ，k∈Z}．思维升华(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；②形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；③形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．(1)函数y＝lg(sinx)＋cosx－12的定义域为________．(2)函数y＝sin2x＋sinx－1的值域为()A．[－1,1]B．[－54，－1]C．[－54，1]D．[－1，54]答案(1){x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}(2)C解析(1)要使函数有意义必须有sinx0，cosx－12≥0，即sinx0，cosx≥12，解得2kπxπ＋2kπ，－π3＋2kπ≤x≤π3＋2kπ(k∈Z)，∴2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z，∴函数的定义域为{x|2kπx≤π3＋2kπ，k∈Z}．(2)y＝sin2x＋sinx－1，令t＝sinx，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－12及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1，可得y∈[－54，1]．题型二三角函数的单调性、周期性例2写出下列函数的单调区间及周期：(1)y＝sin－2x＋π3；(2)y＝|tanx|.思维启迪(1)化为y＝－sin2x－π3，再求单调区间及周期．(2)由y＝tanx的图像→y＝|tanx|的图像→求单调性及周期．解(1)y＝－sin2x－π3，它的增区间是y＝sin2x－π3的减区间，它的减区间是y＝sin2x－π3的增区间．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12，k∈Z.故所给函数的减区间为kπ－π12，kπ＋5π12，k∈Z；增区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12，k∈Z.最小正周期T＝2π2＝π.(2)观察图像可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z，减区间是kπ－π2，kπ，k∈Z.最小正周期T＝π.思维升华(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定．求函数y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6的周期、单调区间及最大、最小值．解∵π3＋4x＋π6－4x＝π2，∴cos4x－π6＝cosπ6－4x＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x.∴y＝2sin4x＋π3，周期T＝2π4＝π2.当－π2＋2kπ≤4x＋π3≤π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递增，∴函数的递增区间为－5π24＋kπ2，π24＋kπ2(k∈Z)．当π2＋2kπ≤4x＋π3≤3π2＋2kπ(k∈Z)时，函数单调递减，∴函数的递减区间为π24＋kπ2，7π24＋kπ2(k∈Z)．当x＝π24＋kπ2(k∈Z)时，ymax＝2；当x＝－5π24＋kπ2(k∈Z)时，ymin＝－2.题型三三角函数的奇偶性和对称性例3(1)已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)|φ|≤π2的图像关于直线x＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案(1)π6(2)A解析(1)f(x)＝2sinx＋π3，y＝f(x＋φ)＝2sinx＋π3＋φ图像关于x＝0对称，即f(x＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋kπ，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z，又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos2×4π3＋φ＝3cos2π3＋φ＋2π＝3cos2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值．若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可．(1)若函数f(x)＝sinax＋cosax(a0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为()A．(－π8，0)B．(0,0)C．(－18，0)D．(18，0)(2)设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图像关于直线x＝π12对称，则在下面四个结论：①图像关于点(π4，0)对称；②图像关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．答案(1)C(2)②④解析(1)由条件得f(x)＝2sin(ax＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a＝2π，故f(x)＝2sin(2πx＋π4)．将x＝－18代入得函数值为0.(2)∵T＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，∴φ＝kπ＋π3(k∈Z)．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y＝sin(2x＋π3)，由图像及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性典例：(20分)(1)已知ω0，函数f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是()A．[12，54]B．[12，34]C．(0，12]D．(0,2](2)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f(x＋π4)＝f(－x)成立，且f(π8)＝1，则实数b的值为()A．－1B．3C．－1或3D．－3