2015年高二下学期期末考试数学(理科)试题

-1-2015年高二下学期期末考试数学(理科）试题第Ｉ卷（选择题共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确的选项涂写在答题卡上。）1、已知随机变量X～B(6,0.4),则当η=-2X+1时,D(η)=().A.-1.88B.-2.88C.5.76D.6.762、已知一次考试共有60名同学参加,考生成绩X～N(110,52),据此估计,大约有57人的分数所在的区间为().A.(90,100]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]3、曲线f(x)＝e2x在点(0，1)处的切线方程为()A．y＝12x＋1B．y＝－2x＋1C．y＝2x＋1D．y＝2x－14．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列表：文化程度与月收入列表（单位：人）月收入2000元以下月收入2000元及以上总计高中文化以上104555高中文化及以下203050总计3075105由上表中数据计算得2K=210510302045555030756.109，请根据下表，估计有多大把握认为“文化程度与月收入有关系”（）P(K2k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83A．1％B．99％C．2.5％D．97.5％5、6411xx的展开式中x的系数是（）A．-4B．-3C．3D．46、下列命题中，正确的命题个数()①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，-2-则P(－1＜ξ≤0)＝12－p；④回归直线一定过样本点的中心(x，y)．A．1个B．2个C．3个D．4个7、某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为（）Ａ．60Ｂ．90Ｃ．120Ｄ．1808、二项展开式(2x－1)10中x的奇次幂项的系数之和为()A.1＋3102B.1－3102C.310－12D．－1＋31029、一个电路如图所示，C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是()A.916B.716C.1316D.31610、函数()fx是定义域为R的函数，对任意实数x都有()(2)fxfx成立．若当1x时，不等式(1)()0xfx成立，设(0.5)af，4()3bf，(3)cf，则a，b，c的大小关系是（）A．bacB．cbaC．abcD．bca第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请将答案填写在试题的横线上。）1100000(3)()()lim1,()xfxxfxyfxxxfxx在处可导，且则____12、若n为正偶数，则7n＋C1n·7n－1＋C2n·7n－2＋…＋Cn－1n·7被9除所得的余数是________．13、四个不同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．14、从编号为1,2，……10的10个大小相同的球中任取4个，已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________．15、已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是________.-3-三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。16、（本小题满分12分）已知在3312nxx的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．17.(本小题满分12分)用数学归纳法证明：当n≥2，n∈N＋时，(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1n2)＝n＋12n.18.（本小题满分12分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.19、（本小题满分12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）-4-求解出该题的人数的数学期望和方差.20.(本小题满分13分)已知函数321()92,()2fxaxbxxxfx若是的一个极值点，且()fx的图像在1x处的切线与直线310xy平行，(Ⅰ)求()fx的解析式及单调区间(Ⅱ)若对任意的2,41x都有2()21fxtt成立，求函数2()2gttt的最值21．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x3＋ax2－3x(a∈R)．(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x＝13是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在[－a,1]上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，请说明理由．-5-数学答案一、选择题：1、答案:C解析:由已知D(X)=6×0.4×0.6=1.44,则D(η)=4D(X)=4×1.44=5.76.2、答案:C解析:∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.=0.95≈P(μ-2σX≤μ+2σ)=P(100X≤120).∴X∈(100,120]3、3、【解析】y′＝e2x·(2x)′＝2e2x.∴k＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－0)，即y＝2x＋1.故选C.【答案】C4、答案：D5、答案：B6、【解析】①错误，r越接近0，说明两个变量有较弱的相关性；②正确，据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变，一般地，E(aξ＋b)＝aEξ＋b，D(aξ＋b)＝a2Dξ(a，b为常数)；③正确，据正态分布的对称性易得P(－1＜ξ≤0)＝1－＞2＝12－p；④正确，回归直线一定过样本点的中心(x，y)，这个作为一个性质考生应理解并熟记它．综上可知共有3个正确命题，故选C.【答案】C7、解析：把新转来的4名学生平均分两组，每组2人，分法有22442212CCA种，把这两组人安排到6个班中的某2个中去，有26A种方法，故不同的安排种数为226412AC，故选答案Ｂ．8、解析：选B.设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a10，再令x＝－1，得310＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10，两式相减可得a1＋a3＋…＋a9＝1－3102，故选B.9、解析：选C.-6-10、【答案】：A【解析】因为对任意实数x都有()(2)fxfx成立，所以函数的图象关于1x对称，又由于若当1x时，不等式(1)()0xfx成立，所以函数在1,上单调递减，所以4()3bf30.532afff二、填空题：11、答案：1-312、【解析】原式＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C1n·9n－1＋C2n·9n－2－…＋Cn－1n·9(－1)n－1＋(－1)n－1，又n为正偶数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，故余数为0【答案】013、答案：4214、【解析】令事件A＝{选出的4个球中含4号球}，B＝{选出的4个球中最大号码为6}．依题意知n(A)＝C39＝84，n(AB)＝C24＝6，∴P(B|A)＝nABnA＝684＝114.【答案】11415、－1a7[解析]易知f′(x)＝3x2＋4x－a.因为函数在区间(－1，1)上恰有一个极值点，所以g(x)＝3x2＋4x－a＝0在区间(－1，1)上只有一个解，故有g(－1)·g(1)0⇒(－1－a)(7－a)0⇒－1a7.三、解答题：16、解(1)通项公式为Tr＋1＝Crnxn－r3－12r23x＝Crn－12r23nrx，∵第6项为常数项，∴r＝5时，有n－2r3＝0，即n＝10.(2)令n－2r3＝2，得r＝12(n－6)＝2，∴所求的系数为C210－122＝454.(3)根据通项公式，由题意得10－2r3∈Z，0≤r≤10，r∈N，令10－2r3＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，即r＝5－32k.∵r∈N，∴k应为偶数．∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为-7-C210－122x2，C510－125，C810－128x－2.17、略(1)49/60(2)x0123P1/61/23/101/3019、解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为,AB设甲独立解出此题的概率为1P，乙为2P则12()0.6,()PAPPBP1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8(2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:PABPABPPPPPPPPPPPPAPBPPAPBPAPBPPAPB则即的概率分布为012P0.080.440.484.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222EEDDE或利用20.(1)增区间（-∞，1/2）（3/2，+∞）减区间（1/2，3/2）(2)g(t)max=10g(t)min=-9/421.(1）a≥0.（2）f(x)在[－a,1]上的最大值是f(－3)＝18.（3）满足条件的b-8-存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．