2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第十一章概率

中档题目强化练——概率A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为()A.15B.25C.35D.45答案C解析记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则A、B、C、D、E是彼此互斥的，取到理科书的概率为事件B、D、E的概率的和，即P(B∪D∪E)＝P(B)＋P(D)＋P(E)＝15＋15＋15＝35.故选C.2．在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是()A.34B.310C.25D．以上都不对答案B解析在40根纤维中，有12根的长度越过30mm，即基本事件总数为40，所求事件包含12个基本事件，且它们是等可能发生的，因此所求事件的概率为P＝1240＝310，故选B.3．设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，P⊆Q，b、c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b＝c的概率为()A.18B.14C.12D.34答案C解析因为P⊆Q，所以当b＝2时，c可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情况，当b＝c时，c可以取3,4,5,6,7,8,9中任意一个数，共7种情况．所以所求概率为77＋7＝12.4．如图所示，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为()A.35B.125C.65D.185答案B解析豆子落在阴影区域内的概率是120200＝35，设阴影部分的面积为S，则SS正方形＝35，解得S＝125，故选B.5．设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为()A.23B.13C.12D.512答案A二、填空题6．在区间－π2，π2上随机取一个数x，cosx的值介于0到12之间的概率为________．答案13解析∵－π2≤x≤π2，而0≤cosx≤12，故－π2≤x≤－π3或π3≤x≤π2，∴根据几何概型的概率公式得所求概率为13.7．在平面直角坐标系xOy中，不等式组－1≤x≤20≤y≤2表示的平面区域为W，从W中随机取点M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，则点M位于第二象限的概率为________．答案16解析画出平面区域，列出平面区域内的整数点如下：(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12个，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2个，所以所求概率P＝16.8．我们把日均收看体育节目的时间超过50分钟的观众称为“超级体育迷”．已知5名“超级体育迷”中有2名女性，若从中任选2名，则至少有1名女性的概率为________．答案710解析用ai表示男性，其中i＝1,2,3，bj表示女性，其中j＝1,2.记“选出的2名全都是男性”为事件A，“选出的2名有1名男性1名女性”为事件B，“选出的2名全都是女性”为事件C，则事件A包含(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，共3个基本事件，事件B包含(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6个基本事件，事件C包含(b1，b2)，共1个基本事件．事件A，B，C彼此互斥，事件至少有1名女性包含事件B和C，所以所求事件的概率为6＋13＋6＋1＝710.三、解答题9．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝512，P(A2)＝412，P(A3)＝212，P(A4)＝112，根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝512＋412＋212＝1112.方法二(利用对立事件求概率)(1)由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－212－112＝34.(2)因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，所以取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－112＝1112.10．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解(1)甲校两男教师分别用A、B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两女教师分别用E、F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)共9种．从中选出的两名教师性别相同的结果有(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种．故选出的两名教师性别相同的概率为P1＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共15种．从中选出的两名教师来自同一学校的结果有(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种．故选出的两名教师来自同一学校的概率为P2＝615＝25.B组专项能力提升(时间：25分钟)1．盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是()A.15B.14C.45D.110答案C解析从盒中的10个铁钉中任取一个铁钉包含的基本事件总数为10，其中抽到合格铁钉(记为事件A)包含8个基本事件，所以所求的概率为P(A)＝810＝45.故选C.2．四边形ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.π4B．1－π4C.π8D．1－π8答案B解析对应长方形的面积为2×1＝2，而取到的点到O的距离小于或等于1时，其区域是以O为圆心，半径为1的半圆，对应的面积为12×π×12＝12π，那么所求的概率为1－12π2＝1－π4，故选B.3．已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0x＋y－2≤0内的概率为________．答案38解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×3×2－12×3×1＝32，则所求概率为38.4．在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积大于S4的概率为________．答案34解析如图，当BM＝14BA时，△MBC的面积为S4，而当P在M、A之间运动时，△PBC的面积大于S4，而MA＝34AB，则△PBC的面积大于S4的概率P＝34ABAB＝34.5．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X12345fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a、b、c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．解(1)由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，即a＋b＋c＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.从而a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能的结果为{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.