2矩阵典型习题解析

2矩阵矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单!2.1知识要点解析2.1.1矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n个数),,2,1;,,2,1(njmiaij组成的m行n列的矩形数表mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211称为m×n矩阵，记为nmijaA)(2．特殊矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3．矩阵的相等设mnijmnijbBaA)(;)(若),,2,1;,,2,1(njmibaijij，则称A与B相等，记为A=B。2.1.2矩阵的运算1．加法（1）定义：设mnijmnijbBAA)(,)(，则mnijijbaBAC)(（2）运算规律①A+B=B+A；②（A+B）+C=A+（B+C）③A+O=A④A+（-A）=0，–A是A的负矩阵2．数与矩阵的乘法（1）定义：设,)(mnijaAk为常数，则mnijkakA)(（2）运算规律①K(A+B)=KA+KB,②(K+L)A=KA+LA,③(KL)A=K(LA)3．矩阵的乘法（1）定义：设.)(,)(npijmnijbBaA则,)(mpijCCAB其中nkkjikijbaC1（2）运算规律①)()(BCACAB；②ACABCBA)(③CABAACB)(（3）方阵的幂①定义：Anija)(，则KkAAA②运算规律：nmnmAAA；mnnmAA)(（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。①BAAB②;00,0BAAB或不能推出③kkkBAAB)(4．矩阵的转置（1）定义：设矩阵A=mnija)(，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为nmaAjiT)(，（2）运算规律①;)(AATT②TTTBABA)(；③;)(TTKAkA④TTTABAB)(。（3）对称矩阵与反对称矩阵若,AAT则称A为对称阵；AAT，则称A为反对称阵。5．逆矩阵（1）定义：设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作1AB。（2）A可逆的元素条件：A可逆0A（3）可逆阵的性质①若A可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；②若A可逆，k≠0，则kA可逆，且111)(AkkA；③若A可逆，则AT也可逆，且TTAA)()(11；④若A，B均可逆，则AB也可逆，且111)(ABAB。（4）伴随矩阵①定义：TnijAA)(*，其中ijA为ija的代数余子式，②性质：i）EAAAAA**；ii）1*nAA；iii）AAAn2**)(；iv）若A可逆，则*A也可逆，且AAAA1)()(*11*③用伴随矩阵求逆矩阵公式：*11AAA2.1.3方阵的行列式1．定义：由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式，记为A或detA。2．性质：（1）AAT，（2）AkkAn，（3）BAAB，（4）AA113．特殊矩阵的行列式及逆矩阵(1)单位阵E：EEE1;1；(2)数量矩阵kE：;nkkE当EkkEk1)(,01时(3)对角阵：;,*2121nn则若021n，则n1112114．上（下）三角阵设nnnnaaaAaaaA22112211,*则若0A，则1A仍为上（下）三角阵2.1.4矩阵的初等变换与初等矩阵1．矩阵的初等变换（1）定义：以下三种变换①交换两行（列）；②某行（列）乘一个不为零的常数k；③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2．初等矩阵（1）定义：将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵；交换i,j两行（列），记为E(i,j)；第i行（列）乘以不为零的常数k记为E(i(k))；第j行的k倍加到第i行上去，记为E(j(k)i；（2）初等矩阵的性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而)1())](([)()]([11kiEkiEijEijE])([)])(([1ikjEikjE（3）方阵A可逆与初等阵的关系若方阵A可逆，则存在有限个初等阵tPPP,,,21，使tPPPA21，（4）初等阵的行列式1))((,))((,1)(ikjEkkiEijE（5）初等阵的作用：对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且AikjEAkAkiEAAijE))((,))((,)(3．矩阵的等价（1）定义：若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B，则称A与B等价，（2）A与B等价的三种等价说法，①A经过一系列初等变换变到B；②存在一些初等阵tsFFEE,,,,,11，使得BFAFEEts11③存在可逆阵P，Q，使得PAQ=B2.1.5分块矩阵1．分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。2．分块矩阵的运算（1）设A，B为同型矩阵，采用相同的分法有ststtststtBBBBBBBAAAAAAA12211111221111则),,2,1;,,2,1()(tjsiBABAijij（2）),,2,1;,,2,1()(tjsikAkAij（3）设,)(,)(npijmnijbBaA分块成trtrststBBBBBAAAAA11111111其中itiiAAA,,,21的列数分别等于tjjjBBB,,,21的行数，则srijcCAB)(，其中tkkjikijsiBAc1)r,1,2,j;,,3,2,1(3．准对角阵（1）定义：形如sAAAA21Ai为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。（2）准对角阵的行列式及逆矩阵设sAAAA21，则sAAAA21；若每个Ai可逆，则A可逆，且112111sAAAA（3）特殊的准对角阵（i）21AAA，若A1,A2可逆，则12111AAA（ii）21AAA，若A1,A2可逆，则11121AAA（iii）CODBA是0,0,0CBACB则且111110CDCBBA（iv）0,0,0CBCDBA，则111110CDBCBA2.2经典题型解析2.2.1矩阵的运算1、若11221252121=11231cccb则c=解：由415a得a=0,11c=4而-1+2b+6=-1得b=-3,22c=-7从而c45=17提示：对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心。2、设A为三阶矩阵，且4,A则____.A21（）2解：322111444AAA21（）2易错提示：本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把A21（）2的阶数给忘记计算。3、设A为33矩阵，B为44，且12AB，，则___.BA解：3218.BABA易错题示：本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时3212BABA是我们常犯的错误。4、设123111AB，，则___.kTAB解：()()()kTTTTTTTTABABABABABABABAB11111162116222.3333kk易错提示：本题关键是要求我们注意到TAB是矩阵，但111123TBA==6却是数，倘若先计算111222333TAB，然后再求111222333k，则计算式相当繁琐的。5、设101010001A，求nA.解：方法一：数学归纳法.因为101010001A，2102010001AAA，32103010001AAA，一般的，设101010001nAn-1，则110110110010010010001001001nnnAAAn.所以，有归纳法知10010001nAn。方法二：因为A是初等矩阵，AnAEAAA个n，相当于对单位矩阵100010001E=，施行了n次初等列变换（把第一列加到第三列），故10010001nAn。方法三：利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幂的特点来进行计算。令101100001010010000001001000AEB=，其中001000000B，又因为2001001000000000000000000000B，所以(2)kBOk。故有110010001nnnEnEBEnBnA.提示：除上述方法外，本题还可以与后面的特征值联系起来计算，方法也算不少，读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。6、设矩阵308316205A，求100502AA。解：A的特征多项式2308()316(1)(1)205fEA，则()f有根1，-1（二重）。若设100502g()=，那么所求100502AAAg()，而49100100ddg()，由代数学中的整除性质，2()fabcq(),stg()=q()，(1)2(1)12,fabcabcfabcabcdabd1005010050-1=1-21=g(1)=q(1)，-1=（-1）（-1）q(-1)，g()0=-100+100=（）解之得：a=b=0,c=-1。所以，()1fg()=q()，从而100502()AAAAfAEEg()=q()。点评：本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会贯通的能力。所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。7、设3100930000200012A，求nA。解：由分块矩阵知CBA00，其中20