2线性系统的可控性.

7-2线性系统的可控性与可观测性一．概念经典控制理论中用传递函数描述系统输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统稳定，输出量便可以受控；且输出量总是可测量的，故不需提出可控及可观测的概念。现代控制理论用状态方程和输出方程来描述系统，揭示系统内部状态的变化规律，状态是被控量，输出量只是状态的线性组合，于是存在“能否找到使任意初态转移到任意终态的控制量”的问题即可控性问题。并非所有状态都受输入量的控制；有时只存在这样的控制，它使任意初态转移到某些确定的终态，而不是任意的终态。同时存在“能否由输出量的测量值来确定线性组合起来的各状态分量”的问题，即可观测性问题。并非所有状态分量都可测量，也并非所有状态分量都可由输出量的测量值来确定。可控性、可观测性概念，是用状态空间描述系统引申出来的概念。于1960年卡尔曼首先提出，在现代的分析综合中占有很重要的地位，也是许多最优控制、最优估计问题的解的存在条件（但并非所有的都需要可控且可观测）。像稳定性一样，可控性、可观测性也是系统固有的重要结构特性。例1一个桥式电路，作为状态变量，为输入，y为输出，即。cLui,ucuy（1）当非平衡时，即时，u将控制两个状态变量的变化，且可通过选择，u使任意初态转移到任意终态，因此是可控的。由于测量到的输出量即,且与有确定的关系，即含有的信息，因而是可观测的。（2）当平衡时，即时，u只能控制iL的变化，不能控制uc，这时uc≡0，从而也不能由输出测量结果确定iL，因而uc是不可控的，ic不可观测。3241RRRRcucucuLiLi3241RRRR系统中只要有一个状态变量不可控或不可观测，便称该系统不完全可控或不完全可观测，简称该系统不可控或不可观测。（a）显见x1受u控制，但x2与u无关，故系统不可控。输出量y=x1，但x1是受x2影响的，y能间接获得x2的信息，故系统是可观测的。（b）x1、x2均受u的控制，故系统可控，但y与x2无关，故系统不可观测的。（c）x1、x2均受u的控制，且在y中均能观测到x1、x2，故系统可控可观测的。例2当，且初始状态时，u只能使，而不能将与分别转移到不同的数值，这也称为不可控。由于故可观测。21RR21CC)()(0201txtx)()(21txtx)(1tx)(2tx21xxy例3可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，便泛指状态可控性。状态可控性只与状态方程有关。1．连续系统的状态可控性（1）凯莱—哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为则A满足其特征方程，即此式称为凯莱—哈密顿定理。0111)(aaaAIfnnn0)(0111IaAaAaAAfnnn二．线性定常系统的可控性推论1矩阵A的k（）次幂，可表为A的(n-1)阶多项式即则故上式推论成立。式中与A阵的元素有关。nk10nmmmkAAIAAAAnnnnn012211AAAAAAAnnnnnn0211211AAAIAAnnnnn0211201111)(IAAaAAnnnnnnnnnn01011212123211221)()()()(m推论2矩阵指数eAt可表为A的(n-1)阶多项式（4）（2）单输入线性定常连续系统的可控性设状态方程为（5）其状态可控性定义如下：在有限时间间隔t∈[t0,tf]内，存在无约束的分段连续控制函数u(t)，能使系统从任意初态x(t0)转移至任意终态x(tf)，则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。10)(nmmmAtAtebuAxx式（5）状态方程的解为（6）为导出可控性判据，仍可不失一般性地假定及，于是有fttfffdbuttxtttx0)()()()()(00ffftttAttAdbuetxe00)()()(0)(fffttAAtdbuexe0)(0)()0(00t0)(ftx解得利用凯莱—哈密顿定理的推论有ftAdbuex0)()0(10)(nmmmAAeftnmmmdbuAx010)()()0(100)()(nmtmmfdubA令则（7）ftmmduu0)()(1,,1,0nm10)0(nmmmbuAx1101nnuuubAAbb记（8）为单输入线性定常连续系统可控性矩阵，为（）矩阵。据解的存在定理，其状态可控的充分必要条件是（9）bAAbbsn13nnnrankS3对多输入情况，其状态方程为记S4是（n×np）可控性矩阵，其状态可控的充分必要条件是状态可控性只与状态方程中A、B矩阵有关，可控系统的(A,B)常称为可控对。BuAxxBAABBSn14nrankS4（3）多输入线性定常连续系统的可控性例1试用可控性判据判断如图所示桥式电路可控性。解该桥式电路的微分方程为uiRiRdtdiLiRuiRiRuiRiiiiiLCCL3311221133444321选取状态变量：。将微分方程组中的i1、i2、i3、i4消去，可得状态方程CLuxix21,uLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx1112433211143432121124321143421221111xRRRRCxRRRRRRCx列写其可控性矩阵S3：当时，rankS3=2=n,系统可控。21243443432121231011RRRRRRLCRRRRRRRRLLrankAbbrankrankS212434RRRRRR但当电桥处于平衡状态即时，有及成立，这时状态方程为3241RRRR433211RRRRRR434212RRRRRRuLxRRRRRRRRLx111434321211243212111xRRRRCx系统不可控，n不能控制x2，x2是不可控状态变量。nRRRRRRRRLLrankAbbrankrankS100114343212123例2试用可控性判据判定下图的可控性。解：uxCRxxCRx22221111dtiCuxC11111dtiCuxC22212uCRxCRx11111111uCRxCRx2222221122111001CRCRA221111CRCRb当时，系统可控。当时，rank1n，系统不可控。2222222121111111CRCRCRCRrankAbbrank2211CRCR2211CRCRAbb,例3已知，求A100=？解：由凯莱—哈密顿定理得：1021A121021)(2AIf02)(2IAAAfIAA22IAAIAAAAAA23)2(22223IAAIAAAAAA34)2(33234由数学归纳法得：故IkkAAk)1(102001990099100020010099100100IAA例4判断可控性解：21321321111112310020231uuxxxxxxBAABBS24442211442211452312可见，S4的第二、三行元素绝对值相同，rankS4=23。故系统不可控。设二阶系统(对角矩阵)，其可控性矩阵S3的行列式为：时系统可控，于是：当A有相异特征值（）时，应存在，，意为A阵对角化且有相异元素时，只需根据输入矩阵没有全零行即可判断系统可控。若时，则不能这样判断，这时，系统总是不可控的。2100A21bbb)(detdet12212221113bbbbbbAbbS0det3S2101b02b210det3S2．A为对角阵或约当阵时的可控性判据设二阶系统（约当型）的A、b矩阵为其可控性矩阵S3的行列式为detS3≠0系统可控，要求：与b1是否为零无关，意为A阵约当化且相当特征值分布在一个约当块时，只需根据输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不是全零行，即可判断系统可控，与输入矩阵中的其它行是否为零行是无关的。1101A21bbb2221221113detdetbbbbbbAbbS02b以上判断方法可推广到A阵对角化、约当化的n阶系统。设系统状态方程（对角矩阵）为式中为系统相异特性值。判据：A为对角阵且元素各异时，输入矩阵不存在全零行。pnpnppnnnuuurrrrrrxxxxxx21122111121212100n,,1当A为对角阵但含有相同元素时，上述判据不适用仍应根据可控性矩阵的秩来判断。设系统状态方程（约当型）为：式中为系统的二重特征值且构成一个约当块，为系统的相异特征值。可见：各方程的状态变量是解耦的，上述A对角化的判据仍适用；而方程中既含有x1又含x2，在x2受控条件下，即使方程中不存在任何控制分量，也能通过x2间接传递控制作用，使x1仍可控。pnpnpppnnnuuuurrrrrrrrxxxxxxxx32113312211113213113210011n,,3nxx,,31x1xA阵约当化时的可控性判据又可表述为：（1）输入矩阵中与约当块最后一行所对应的行不存在全零行（与约当块其它行所对应的行允许是全零行）；（2）输入矩阵中与相异特征值所对应的行不存在全零行。当A阵相同特征值分布在两个或更多约当块时，例如以上判据不适用，应根据可控性矩阵秩来判断。111000001例5下列系统是可控的，试自行说明。uxxxxxxuxxxx1001002000100112130023213212121uxxxxxxxxxxxx001000000010100000000001000001000000000000000001654321333211654321例6下列系统是不可控的，试自行说明。uxxxxxxuxxxxuxxxx