2随机信号分析_随机信号的时域分析

tt第二章随机信号的时域分析信号是个随时间、空间、或其它某个参量变化的，携带某种信息的物理量。通常遇到最多的是时间信号，是随时间变化的物理量。因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型→随机过程。确定信号——幅度、相位均随时间做有规律的、已知的变化。可以用确定的时间函数来描述。可以准确的与测其未来的变化。随机信号——幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。无法用确定的时间函数来描述。无法准确的与测其未来的变化。但，随机信号的统计规律则是确定的。下面由一个试验实例来建立随机过程的概念。举例：在相同条件下，对同一雷达接收机的内部噪声电压（或电流）经过大量的重复测试后，设观测到的所有的可能结果有n种，记录下n个不相同的波形。§2.1随机过程的基本概念1kmS10intttt111(,)(,)()iXtXtxt(,)(,)()kikkXtXtxt(,)(,)()mimmXtXtxt()iXt以上S是所有可能结果的集合，尽管在每次测量以前，不能事先确定哪条波形将会出现，但事先可以确定“总会”在这n个波形中“出现一个”。即：S中每一个结果k总有一个波形X(t，k)与其对应。这是一个典型的“随机过程模型”。1kmS10intttt111(,)(,)()iXtXtxt(,)(,)()kikkXtXtxt(,)(,)()mimmXtXtxt()iXt尽管从总体上看随机过程各次所得的结果可能不尽相同，是随机的。但是就其单次实验结果k而言，它是确定的，是可以用一个确定时间函数表示的。因此，如果能观察到随机过程的所有可能结果，每个结果用一个确定函数表示，则随机过程则可以用所有这些确定函数的总体来描述。()kxt1(),,(),,()kmxtxtxt相对所有实验结果∈S而言，这一族时间函数的总体构成了随机过程，其中称随机过程的样本函数，而所有样本函数的集合则构成了随机过程的“样本函数空间”。1(,),,(,),,(,)kmXtXtXt()kxt1(),,(),,()kmxtxtxt可见随机过程必定是两个参变量的函数X(t，)，t∈T，∈S。对于某个时刻t=ti，X(ti，)－通常称为随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态”。它仅是参变量的函数，对所有实验结果∈S而言，它随机地取{X(ti，1)，X(ti，k)，…，X(ti，n)}中的任一个“值”所以随机过程X(t，)在t=ti时刻的“状态”－X(ti，)是定义在S上的一个“随机变量”Xi。而随机过程X(t，)在t=tj时刻的“状态”－X(tj，)是定义在S上的另一个“随机变量”Xj。对于随机过程X(t)而言：固定，t变化。———一个确定的时间函数。t固定，变化。———一个随机变量（状态）。t固定，固定。———一个确定的值。…，X(t，n)}，t变化，变化。———随机过程（一族时间函数的总体，或随时间变化的随机变量）一般随机变量写成:X,Y,Z。一般随机过程写成:X(t),Y(t),Z(t)一般样本函数写成:(),(),()xtytzt随着t的变化，得到一个个不同的“状态”——X(t1，),…,X(ti，),…,X(tn，)是一个个不同的随机变量X1,X2,…,Xm。所以又可以将随机过程X(t，)看成一个“随时间变化的随机变量X(t)”。2）状态连续——状态取值连续，即幅度上也连续。当t固定时，其状态Xj是连续型随机变量。如其概率密度xjfj(xj)2.1.2随机过程的分类一、按状态和样本函数是连续还是离散来分类。1.连续型随机过程X(t,).1）时间连续——当固定时，其样本函数是时间t的连续函数如：()kxt()kxt0jt()jXt2离散型随机过程X(t,)1）状态离散——当t固定时，状态Xj取值离散如（－1，1），其状态是离散型随机变量。其概率分布如：2）时间连续——当固定时，其样本函数是时间t的连续函数如：101jx12jP()kxt()kxt101t3.连续随机序列——离散时间t用序号n代替1）状态连续——当t固定时，状态Xj取值连续，是连续型随机变量。其概率密度2）时间离散——当固定时，其样本函数在时间t上是离散的所以构成序列。如：()jfxjx()kxt()kxnn取值连续()Xn4.离散随机序列1）状态离散——状态Xj取值离散，是离散型随机变量。如：xpj1-11/22）时间离散——样本函数在时间t上也是离散的(序列)。tXi(t)+1-1取值离散()ixt()Xn二、按随机过程的概率分布或性质来分类1)、高斯过程、泊松过程、维纳过程——其每一个状态Xj均为高斯分布、泊松分布、维纳分布。2)、平稳随机过程——过程的一阶，二阶矩不随时间的变化而变化3)、独立增量过程——每一个状态的增量之间相互独立。2·1·3、随机过程的概率分布例：1212()()()()()0ininXtXtXtXtXtttttt随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1),X(t2),…,X(tn)构成n维随机变量[X(t1),X(t2),…,X(tn)]，当t0,n∞时的n维随机变量近似随机过程。因此，可以借用对n维随机变量的分析研究来“替代”或“近似”对随机过程的分析研究。所以定义随机过程X(t)的一维分布函数：一维概率密度：一、随机过程的一维分布随机过程X(t)在任一固定时刻t1∈T，其状态是一维随机变量，其分布函数可以反应随机过程X(t)在整个时间段T上的所有一维状态的概率分布情况。也变化。变化，，随着，因为换成如果将);(t})({);(111txFtTttxtXPtxFXX);(txFXxtxFtxfXX);(),(TtxtXPtxFX.........}.........)({);(()cos,()YtXtXYt例：已知随机过程为高斯分布的随机变量，为常数。求的一维概率密度函数。22()2X1()2XXxmXXfxe解：已知的概率密度：11111111111=()cos(,)()||1=,coscosYXttYtYYtXtdxfytfxdyYdxXtdyt在时刻，是一个随机变量，令：根据随机变量函数的概率密度的求法：求反函数：2121211211()cos2111(cos)2(cos)111(,)|cos|21=2|cos|XXXXymtYXymttXfytetet故：2111(cos,(cos))XXYNmtt因此：，仍是高斯分布一维分布只能描述随机过程X(t)在任一孤立时刻的统计特性，而不能反应随机过程X(t)的各个状态之间的关系。二、随机过程的二维分布随机过程X(t)在任意两个固定时刻t1∈T，t2∈T的状态X(t1),X(t2)构成二维随机变量{X1，X2}，其联合分布函数：随着(t1,t2)的变化，可以表示随机过程X(t)在整个时间段T上，任意两个时刻的状态的联合概率分布情况。TttxtXxtXPttxxFX2122112121,.........}.........)(;)({),;,(),;,(2121ttxxFX二、随机过程的二维分布所以定义随机过程X(t)二维分布函数：随机过程X(t)二维概率密度：21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXXTttxtXxtXPttxxFX2122112121,.........}.........)(;)({),;,(),;,(2121ttxxFX同多维随机变量一样，随机过程X(t)的n维概率分布具有下列主要性质：1）2）3）0),...,,;,...,,(1),...,,;,...,,(0),...,,...,,;,...,,...,,(2121212121nnXnXninXtttxxxftttFttttxxxF4）5)6）如果X(t1),X(t2),…X(tn)统计独立，则有1...),...,,;,...,,(212121nnnXdxdxdxtttxxxf),...,,;,...,,(...),...,,;,...,,(2121212121mmXnmmnnXtttxxxfdxdxdxtttxxxf12121122(,,...,;,,...,)(,)(,)...(,)XmmXXXnnfxxxtttfxtfxtfxt三、随机过程X(t)的n维概率分布随机过程X(t)在任意n个时刻t1,t2,…,tn状态X(t1)、X(t2)、…、X(tn)构成n维随机变量[X1,X2,…,Xn]。用类似上面的方法，我们可以定义随机过程X(t)的n维分布函数为：})(,...,)(,)({),...,,;,...,,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxFn维概率密度为：nnnXnnnXxxtttxxxFtttxxxf...),...,,;,...,,(),...,,;,...,,(1212121212·1·4、随机过程的数字特征一、数学期望如果将过程X(t)中的t看成是固定的，则X(t)就是一个随机变量，它随机的取值x，其在t时刻取x值的概率密度为。据期望的定义：[()](,)()XXEXtxfxtdxmtmx(t)描述了X(t)所有样本函数在各个时刻摆动的中心－－即X(t)在各个时刻的状态(随机变量)的数学期望。(,)Xfxt)(0)(tmttXX1()Xmt1t()Ximtit二、随机过程X(t)的均方值和方差同理，把过程X(t)中的t视为固定时，X(t)为时刻t的状态（随机变量）。其二阶原点矩：将t视为变量时，即为过程X(t)的均方值。22[()](,)XEXtxfxtdx222[()]{[()()]}[()](,)()XXXXDXtEXtmtxmtfxtdxt同理，过程X(t)的方差：过程X(t)的均方差：)()()]([2tttXDXXmiiiYyytptyf1)()();(})({)(iiytYPtp对离散型随机过程Y(t),t∈T,若所有状态取值的样本空间为S＝{y1,y2,…,ym}。可用利δ函数表示其一维概率密度。即：i∈I={1,…,m}其中表示t时刻状态Y(t)取值为yi的概率。故离散型随机过程Y(t)的数学期望为：11112221221()()()()()()()()()[()]()()[()][()]()mmYiiiiiiimmiiiiiiimYiiimXiYiimtyptyydyptyyydyptyyydyypttEYtypttDYtymtpt均方值为：方差为：三、随机过程的自相关函数下面两个随机过程X(t)，Y(t)它们的期望和方差都相同，mx(t)=my(t)，x(t)=y(t)。但从样本函数看有明显不同。X(t)随时间变化慢，不同时刻的两个状态X(t1),X(t2)之间的依赖性强（相关性强）。Y(t)随时间变化快，不同时刻的两个状态Y(t1),Y(t2)之间的依赖性弱（相关性弱）。因此期望和方差不能反应过程内部变化快慢、相关性强弱的状况。ttttmttXXX210)()()(ttttmttYYY210)()()(一般用来描述随机过程“任意两个时刻的两个状态之间内在联系”的重要数字特征——自相关函数定义为：它反应了任意两个时刻的状态X(t1)与X(t2)之间的“相关程度”。212121212121),;,()]()([),(xdxttxxfxxtXtXEttRXX12112211221212121212121222(,){[()()][()()]}[()][()](,;,)(,)(,)()()(,)[()](,)[()]()