2015浙江数学高考压轴题模拟题

1设函数0,1)(,2)(2axaxxgaxxxf（1）当8a时，求)(xf在区间]5,3[上的值域；（2）若21),2,1](5,3[],5,3[xxixti且，使)()(tgxfi，求实数a的取值范围.2.已知函数axaxxf4||)(，Ra（1）若1a，试判断并用定义证明函数)(xf在]4,1[上的单调性；（2）当]4,1[x时，求函数)(xf的最大值的表达式)(aM；（3）是否存在实数a，使得3)(xf有3个不等实根321xxx，且它们依次成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由.解：（1）当1a时，在[1,4]上单调递增；证明：当1a时，]4,1[x，xxxf4)(任取]4,1[,21xx，且21xx，则)41)((44)()(2121221121xxxxxxxxxfxf因为21xx，]4,1[,21xx，故021xx，04121xx，所以0)()(21xfxf即)()(21xfxf,故当1a时，f(x)在[1,4]上单调递增.（2）当1a时，xxxf4)(，3)4()(faM,当41a时，]4,(,4],1[,42)(axxxaxxxaxf，（i）当],1[ax时，若21a，aaafaM4)()(；若42a，42)2()(afaM（ii）当]4,[ax时，3)4()(faM故当271a，由34aa，342a，3)(aM，当427a时，42)(aaM当4a时，xxaxf42)(，42)2()(afaM综上：27,4227,3)(aaaaM.(3)),(,40],,(,42)(axxxxaxxxaxf,当41a时，34xx有一根为4，342xxa在0],,(xa上必有两根21xx，得到427a或211a，于是4421xxx，于是1242xx，解得3231a，因为13231a舍去；当1a时，34xx有两根为-1和4，故令342xxa在],(a上有且仅有一根1x，得到1a，于是41321xxx，于是142x，得到611a.综上：3231a或611.3.已知函数f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R．（1）当时，方程f（x）=b恰有三个根，求实数b的取值范围；（2）当时，是否存在区间[m，n]，使得函数的定义域与值域均为[m，n]，若存在请求出所有可能的区间[m，n]，若不存在请说明理由；（3）若a＞0，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．解：（1）设g（x）=4x2-x-b（x≥）令g′（x）=8x-1=0，可得x=，∵，∴g（x）在[，+∞）上单调增；g（x）=-2x2+x-b（x＜）令g′（x）=-4x+1=0，可得x=，∵，∴g（x）在（-∞，）上单调增；g（x）在[，）上单调减；要使方程f（x）=b恰有三个根，只须g（）=-2（）2+-b=-b＞0，∴b＜g（）=-2（）2+-b=-b＜0，∴b＞∴；（2）当m＜n≤时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，所以，所以m=n，矛盾；当m≤≤n＜时，n=f（）=，矛盾；当m≤＜≤n时，n≥＞＞f（m），故f（x）在区间[m，n]上的最大值在[，n]上取到∵f（x）在[，n]上单调递增，∴n=f（n），∴n=又，故，所以f（x）在区间[m，n]上的最小值在上取到．又f（x）在区间上单调递增，故m=f（m），∴m=0故当时，由x∈，知，，矛盾．当时，f（x）在区间上单调递减，上单调递增．故，矛盾当时，f（x）在区间[m，n]上单调递增，故，得，矛盾．综上所述，即存在区间满足条件．（3）当a＞0时，函数的图象如右，要使得函数f（x）在开区间（m，n）内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x=a处取得，最大值在处取得；f（a）=a2，在区间（-∞，a）内，函数值为a2时，所以；，而在区间（a，+∞）内函数值为时，所以．…..（12分）