2015葫芦岛市第一次调研考试数学参考答案(理)

高三数学(理科)参考答案第1页（共5页）2015年葫芦岛市第一次模拟考试数学试题(理科)参考答案及评分标准一.选择题:每小题5分,总计60分题号123456789101112答案CBBCBACBBACA二.填空题:每小题5分,总计20分.13.7014.14、-1215.(-∞,-2)16.①③④三.解答题:17.(本小题满分12分)解：（1）由a4+a8=22得：a6=11又a3=5∴d=2,a1=1……………………2分∴an=2n-1…………………………………………………………………………4分Sn=n(a1+an)2=n(1+2n-1)2=n2………………………………………………………………6分(2)bn=n+1SnSn+2=n+1n2·(n+2)2=14(1n2-1(n+2)2)当n=1时，b1=14(1-19)=29516,原不等式成立；………………………………8分当n≥2时，b1+b2+…+bn=14(112-132+122-142+132-152+142-162+…+1(n-2)2-1n2+1(n-1)2-1(n+1)2+1n2-1(n+2)2)=14(112+122-1(n+1)2-1(n+2)2)14(112+122)=516∴b1+b2+…+bn516(n∈N*)………………………………………………12分18．（本小题满分12分）(1)证明：∵AB⊥平面BEC，CE平面BEC∴AB⊥CE∵BC为圆的直径∴BE⊥CE∵BE平面ABE，AB平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE∵BF平面ABE∴CE⊥BF又BF⊥AE且CE∩AE=E∴BF⊥平面AECAC平面AEC∴BF⊥AC（或由面面垂直的性质定理证明，请参照赋分）……………………6分（2）设圆柱的底面半径为r,则圆柱的高为2r;V圆柱=r2·2r=2r3.VA-BEC=13·12BE·EC·2r=13·BE·EC·r由题意：V圆柱VA-BEC=2r313·BE·EC·r=3∴BE·EC=2r2又BE2+CE2=4r2由此解得：BE=EC=2r…………8分法一：ABCDEFxyz高三数学(理科)参考答案第2页（共5页）分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴,E为坐标原点建立如图所示坐标系；则E（0，0，0）、B（2r，0，0）、C（0，2r，0）、A（2r，0，2r）AB→=(0,0,2r),AC→=(-2r,2r,-2r),设平面BAC的法向量为n1→=(x1,y1,z1)，则由n1→⊥AC→，n1→⊥AB→得：n1→·AC→=0且n1→·AB→=0即：2rz1=0-2rx1+2ry1-2rz1=0解得：z1=0x1=y1,取y1=1得：n1→=（1,1,0)设平面CAE的法向量为n2→=(x2,y2,z2)，则由n2→⊥EC→，n2→⊥EA→得：n2→·EC→=0且n2→·EA→=0即：2ry2=02rx2+2rz2=0解得：y2=0x=-2z2取z2=1得：n2→=（-2,0,1)…………10分∴cosn1→,n2→=n1→·n2→|n1→|·|n2→|=-22·3=-33由图形可知：二面角B-AC-E为锐二面角∴二面角B-AC-E的余弦值为33…………12分法二：过F作FG⊥AC于G，连BG；由（1）知：BF⊥平面ACE∴FG为BG在平面AEC内的射影，又FG⊥AC，AC平面AEC∴由三垂线定理得：BG⊥AC∴∠FGB即为二面角B-AC-E的平面角……10分在RTABC中易求得：BG=2r,在RTABC中易求得：BF=233r∴在RTBFG中:FG=BG2-BF2=63r∴cos∠FGB=FGBG=6r32r=33∴二面角B-AC-E的余弦值为33………12分19．（本小题满分12分）(1)设第i组的频率为Pi(i=1,2,…,8),由图可知：P1=13000×30=1100,P2=1750×30=4100∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=5100由题意：n×5100=5∴n=100………2分又P3=1375×30=8100,P5=1100×30=30100,P6=1120×30=25100,P7=1200×30=15100,P8=1600×30=5100∴P4=1-(P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8)=12100∴第④组的高度为:h=12100×130=123000=1250ABCDEFG1/1001/2001/3751/6001/7501/3000306090120150180210240时间（分钟）频率/组距O1/1201/250高三数学(理科)参考答案第3页（共5页）频率分布直方图如图：（注：未标明高度1/250扣1分）………4分（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而22列联表如下：将22列联表中的数据代入公式计算，得……6分K2=n(n11n22-n12n21)2n1+n2+n+1n+2=100×(30×10-45×15)275×25×45×55=10033≈3.030因为3.0303.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关……8分(3)由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人，则X的所有可能取值为0，1，2，3P（X=i)=Ci5C3-i5C310(i=0,1,2,3)∴P（X=0)=C05C35C310=10120=112,P（X=1)=C15C25C310=50120=512,P（X=2)=C25C15C310=50120=512,P（X=3)=C35C05C310=10120=112…………………………………10分∴X的分布列为：X0123P112512512112∴EX=0×112+1×512+2×512+3×112=1812=32……………………12分(或由超几何分布的期望计算公式EX=n×MN=3×510=32)20.(本小题满分12分)解：（1）∵e=33∴a2=3c2=3a2-3b2∴2a2=3b2将x=-c代入椭圆方程得：y2=b4a2y=±b2a由题意：2b2a=4332a=3b2解得：a2=3,b2=2∴椭圆C的方程为：x23+y22=1…………利用时间充分利用时间不充分总计走读生301545住宿生451055总计7525100高三数学(理科)参考答案第4页（共5页）(2)联立方程组：x23+y22=1y=kx+t联立并消元整理得：(3k2+2)x2+6ktx+3t2-6=0…………①=24(3k2+2-t2)0∴3k2+2t2………②设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=-6kt3k2+2,y1+y2=k(x1+x2)+2t=-6k2t3k2+2+2t=4t3k2+2设MN的中点为G(x0,y0),则x0=x1+x22=-3kt3k2+2,y0=y1+y22=2t3k2+2∴线段MN的垂直平分线方程为：y-2t3k2+2=-1k(x+3kt3k2+2)将P（0，-14)代入得：14+2t3k2+2=3t3k2+2化简得：3k2+2=4t……………9分代入②式得：4tt2∴0t4|MN|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=1+k2·26·3k2+2-t23k2+2=1+k2·26·4t-t24t=1+k2·6·4t-t22t设O到直线MN的距离为d,则d=t1+k2∴SNOM=12·|MN|·d=12·1+k2·6·4t-t22t·t1+k2=64·4t-t2=64·-(t-2)2+4≤62(当且仅当t=2,k=±2时取“=”号）∴MON面积的最大值为62，此时直线l的方程为：y=±2x+2.……………………………12分21.(本小题满分12分)解：（1）f(x)=ax+bx,f′(x)=a-bx2由题意：f′(1)=2，f(1)=0即a-b=2,a+b=0解得：a=1,b=-1………………………………………………………………4分(2)f(x)=x-1x由g(x)≤mf(x)得：2lnx≤m(x-1x)2lnx-m(x-1x)≤0令(x)=2lnx-m(x-1x)则′(x)=2x-m(1+1x2)=-mx2+2x-mx2①当m=0时,′(x)=2x0恒成立，∴(x)在（1，+∞）上单调递增∴（x)(1)=0这与(x)≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令=4-4m2=4(1+m)(1-m)②当m≤-1时，≤0恒成立且-m0∴-mx2+2x-m≥0恒成立即′(x)≥0恒成立∴(x)在（1，+∞）上单调递增∴（x)(1)=0，这与(x)≤0矛盾，不合题意；③当-1m0时，0,方程-mx2+2x-m=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1x2),由韦达定理得：x1·x2=10,x1+x2=2m0,∴x1x20∴当x≥1时，-mx2+2x-m≥0恒成立即′(x)0恒成立∴(x)在（1，+∞）上单调递增∴（x)(1)=0，这与(x)≤0矛盾，不合题意；④当0m1时，0,方程-mx2+2x-m=0有两个不等实根x1,x2(不妨设x1x2),0x1=1-1-m2m1,x2=1+1-m2m1∴0x11x2∴(x)在（1，x2)单调递增∴当x∈(1,x2)时,′(x)0∴(x)在（1，+∞）上单调递增∴高三数学(理科)参考答案第5页（共5页）（x)(1)=0，这与(x)≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，≤0且-m0∴′(x)≤0恒成立(x)在[1，+∞）上单调递减∴（x)≤(1)=0，合题意综上所述，当m∈[1,+∞)时，g(x)≤mf(x)恒成立。…………………………………8分（3）对任意的k1,(k)=2lnk-m(k-1k)=lnk-m·k-1k由（2）知，当m=1时，(k)=lnk-m·k-1k0恒成立，即lnkk-1k取k=43得：ln4343-143=36≈0.289.由（2）④知当0m1时，(x)在（1，1+1-m2m）上单调递增，(x)(1)=0令1+1-m2m=k得：m=2kk+1,(x)=2lnx-m(x-1x)0∴(k)=lnk-2kk+1·k-1k=lnk-2(k-1)k+10∴lnk2(k-1)k+1取k=43得：ln432(43-1)43+1=27≈0.286∴0.286ln430.289取ln43=0.286+0.2892=0.2875≈0.29∴ln43≈0.29……………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲(1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.………………5分(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.………………10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：对于曲线M,消去参数，得普通方程为2,12xxy,曲线M是抛物线的一部分；对于曲线N，化成直角坐标方程为tyx，曲线N是一条直线.(2分)(1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点(2,1)时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点(2,1)之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两高三数学(理科)参考答案第6页（共5页）个公共点，所以2121t满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由12xxt，得210,xxt14(1)0t，求得54t.综合可求得t的取值范围是：2121t或54t.…………5