2015解步步高大一轮讲义(理)专题二

专题二高考中的三角函数综合问题1．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．2．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π答案B解析f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin2x＋π4，T＝2π2＝π.3．若函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx,0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋2答案B解析依题意，得f(x)＝cosx＋3sinx＝2sin(x＋π6)，当0≤xπ2时，π6≤x＋π62π3，f(x)的最大值是2.4．已知向量OB→＝(2,0)，向量OC→＝(2,2)，向量CA→＝(2cosα，2sinα)，则向量OA→与向量OB→的夹角的取值范围是()A.0，π4B.π4，512πC.512π，π2D.π12，512π答案D解析由题意，得：OA→＝OC→＋CA→＝(2＋2cosα，2＋2sinα)，所以点A的轨迹是圆(x－2)2＋(y－2)2＝2，如图，当A位于使向量OA→与圆相切时，向量OA→与向量OB→的夹角分别达到最大、最小值，故选D.5．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝________________________________________.答案1010解析方法一应用两角差的正弦公式求解．由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°，在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1，∴CE＝5，则sin∠CEB＝15，cos∠CEB＝25.而∠CED＝45°－∠CEB，∴sin∠CED＝sin(45°－∠CEB)＝22(cos∠CEB－sin∠CEB)＝22×25－15＝1010.方法二利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解．由题意得ED＝2，EC＝12＋22＝5.在△EDC中，由余弦定理得cos∠CED＝CE2＋DE2－DC22CE·DE＝31010，又0∠CEDπ，∴sin∠CED＝1－cos2∠CED＝1－310102＝1010.题型一三角函数的图象和性质例1已知函数f(x)＝sin(ωx＋π6)＋sin(ωx－π6)－2cos2ωx2，x∈R(其中ω0)．(1)求函数f(x)的值域；(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调增区间．思维启迪对三角函数的性质的讨论，首先要化成y＝Asin(ωx＋φ)＋k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定ω.解(1)f(x)＝32sinωx＋12cosωx＋32sinωx－12cosωx－(cosωx＋1)＝2(32sinωx－12cosωx)－1＝2sin(ωx－π6)－1.由－1≤sin(ωx－π6)≤1，得－3≤2sin(ωx－π6)－1≤1，所以函数f(x)的值域为[－3,1]．(2)由题设条件及三角函数图象和性质可知，y＝f(x)的周期为π，所以2πω＝π，即ω＝2.所以f(x)＝2sin(2x－π6)－1，再由2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，解得kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)．所以函数y＝f(x)的单调增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．思维升华三角函数的图象和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解．已知函数f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈[19π24，π]时，求函数f(x)的最大值和最小值．解f(x)＝sin2x－2sinxcosx＋3cos2x＝1－sin2x＋2cos2x＝2＋cos2x－sin2x＝2＋2cos(2x＋π4)．(1)函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)因为19π24≤x≤π，所以116π≤2x＋π4≤9π4.所以22≤cos(2x＋π4)≤1.所以3≤2＋2cos(2x＋π4)≤2＋2，即3≤f(x)≤2＋2.所以函数f(x)的最小值为3，最大值为2＋2.题型二三角函数和解三角形例2(2013·重庆)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝325，cosα＋Acosα＋Bcos2α＝25，求tanα的值．思维启迪(1)利用余弦定理求C；(2)由(1)和cosAcosB＝325可求得A＋B，代入求tanα.解(1)因为a2＋b2＋2ab＝c2，由余弦定理有cosC＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.又0Cπ，故C＝3π4.(2)由题意得sinαsinA－cosαcosAsinαsinB－cosαcosBcos2α＝25.因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝25，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝25，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝25.①因为C＝3π4，所以A＋B＝π4，所以sin(A＋B)＝22，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即325－sinAsinB＝22，解得sinAsinB＝325－22＝210.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.思维升华三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．(2012·安徽)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．解(1)方法一由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB.因为sinB≠0，所以cosA＝12.由于0Aπ，故A＝π3.方法二由题设可知，2b·b2＋c2－a22bc＝a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.由于0Aπ，故A＝π3.(2)方法一因为AD→2＝AB→＋AC→22＝14(AB→2＋AC→2＋2AB→·AC→)＝14(1＋4＋2×1×2×cosπ3)＝74，所以|AD→|＝72.从而AD＝72.方法二因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝π2.因为BD＝32，AB＝1，所以AD＝1＋34＝72.题型三三角函数与平面向量的综合应用例3已知向量m＝3sinx4，1，n＝cosx4，cos2x4.(1)若m·n＝1，求cos2π3－x的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．思维启迪(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式，化简求值．(2)在△ABC中，求出∠A的范围，再求f(A)的取值范围．解(1)m·n＝3sinx4·cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋1＋cosx22＝sinx2＋π6＋12，∵m·n＝1，∴sinx2＋π6＝12.∵cosx＋π3＝1－2sin2x2＋π6＝12，∴cos2π3－x＝－cosx＋π3＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC.∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．∵A＋B＋C＝π，∴sin(B＋C)＝sinA≠0.∴cosB＝12，∵0Bπ，∴B＝π3.∴0A2π3.∴π6A2＋π6π2，sinA2＋π6∈12，1.又∵f(x)＝sinx2＋π6＋12.∴f(A)＝sinA2＋π6＋12.故函数f(A)的取值范围是1，32.思维升华(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．(2013·北京延庆模拟)已知a＝(53cosx，cosx)，b＝(sinx,2cosx)，设函数f(x)＝a·b＋|b|2＋32.(1)当x∈[π6，π2]时，求函数f(x)的值域；(2)当x∈[π6，π2]时，若f(x)＝8，求函数f(x－π12)的值；(3)将函数y＝f(x)的图象向右平移π12个单位后，再将得到的图象上各点的纵坐标向下平移5个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的表达式并判断奇偶性．解(1)f(x)＝a·b＋|b|2＋32＝53sinxcosx＋2cos2x＋4cos2x＋sin2x＋32＝53sinxcosx＋5cos2x＋52＝532sin2x＋5×1＋cos2x2＋52＝5sin(2x＋π6)＋5.由π6≤x≤π2，得π2≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin(2x＋π6)≤1，∴当π6≤x≤π2时，函数f(x)的值域为[52，10]．(2)f(x)＝5sin(2x＋π6)＋5＝8，则sin(2x＋π6)＝35，所以cos(2x＋π6)＝－45，f(x－π12)＝5sin2x＋5＝5sin(2x＋π6－π6)＋5＝332＋7.(3)由题意知f(x)＝5sin(2x＋π6)＋5→g(x)＝5sin[2(x－π12)＋π6]＋5－5＝5sin2x，即g(x)＝5sin2x，g(－x)＝5sin(－2x)＝－5sin2x＝－g(x)，故g(x)为奇函数.1．函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，|φ|π2)在同一个周期内，当x＝π4时，y取最大值1，当x＝7π12时，y取最小值－1.(1)求函数的解析式y＝f(x)；(2)函数y＝sinx的图象经过怎样的变换可得到y＝f(x)的图象；(3)若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0a1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和．解(1)∵T＝2(712π－π4)＝23π，∴ω＝3，又∵sin(34π＋φ)＝1，∴3π4＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z.又|φ|π2，得φ＝－π4，∴函数的解析式为f(x)＝sin(3x－π4)．(2)y＝sinx的图象向右移π4个单位，得到y＝sin(x－π4)的图象，再由y＝sin(x－π4)的图象上所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标不变，得到y＝sin(3x－π4)的图象．(3)∵f(x)＝sin(3x－π4)的最小正周期为23π，∴f(x)＝sin(3x－π4)在[0,2π]内恰有3个周期，∴sin(3x－π4)＝a(0a1)在[0,2π]内有6个实数根且x1＋x2＝π2.同理，x3＋x4＝11π6，x5＋x6＝196π，故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.2．(2013·安徽)已知函数f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间0，π2上的单调性．解(1)f(x)＝4cosωx·sinωx＋π4＝22sinωx·cosωx＋22cos2ωx＝2(sin2ωx＋cos2ωx)＋2＝2si